Абелевы универсальные алгебры (стр. 2 из 11)

3) (транзитивность): если

и , то .

Отметим, что условия 1) – 3) означают, что

– эквивалентностъ на множестве .

Определение 1.7. Пусть

– гомоморфизм алгебры в . Ядром гомоморфизма называется подмножество

В работе [3] приводятся следующие теоремы об изоморфизмах

Теорема 1Ядро гомоморфизма является конгруэнцией.

Определение 1.8. Если

– конгруэнция на алгебре и , то множество

называется классом конгруэнции

. Множество всех классов конгруэнции обозначают через . При этом для каждой -арной операции считают , а для -арной операции , где , – . Получившуюся алгебру называют фактор-алгеброй алгебры по конгруэнции .

Теорема Первая теорема об изоморфизмах 2Если

– гомоморфизм алгебры

в

, то

Теорема Вторая теорема об изоморфизмах 3Пусть

конгруэнция на алгебре

,

– подалгебра алгебры

. Тогда

Определение 1.9. Если

, – конгруэнции на алгебре и содержится в , то обозначим

и назовем фактором алгебры

или фактором на

.

Теорема Третья теорема об изоморфизмах 4Пусть

– фактор на алгебре

. Тогда

Определение 1.10. Если

и – конгруэнции алгебры , то полагают

Теорема 5Произведение двух конгруэнции является конгруэнцией тогда и только тогда, когда они перестановочны.

Определение 1.11. Класс алгебраических систем

называется формацией, если выполняются следующие условия:

1) каждый гомоморфный образ любой

-системы принадлежит ;

2) всякое конечное поддекартово произведение

-систем принадлежит .

Определение 1.12. Формальное выражение

, где и – слова сигнатуры в счетном алфавите , называется тождеством сигнатуры . Скажем, что в алгебре выполнено тождество , если после замены букв любыми элементами алгебры и осуществления входящих в слова и операций слева и справа получается один и тот же элемент алгебры , т.е. для любых в алгебре имеет место равенство

Определение 1.13. Класс

алгебр сигнатуры называется многообразием, если существует множество тождеств сигнатуры такое, что алгебра сигнатуры принадлежит классу тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества . Многообразие называется мальцевским, если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.

2.Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

Напомним, что класс

алгебр сигнатуры называется многообразием, если существует множество тождеств сигнатуры такое, что алгебра сигнатуры принадлежит классу тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества .

Многообразие называется мальцевским, если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.

Все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевcкому многообразию. Используются стандартные обозначения и определения из[2].