Абелевы универсальные алгебры (стр. 3 из 11)

В данной работе конгруэнции произвольной алгебры будем обозначать греческими буквами.

Если

– конгруэнция на алгебре , то

смежный класс алгебры

по конгруэнции . или – диагональ алгебры .

Для произвольных конгруэнции

и на алгебре будем обозначать множество всех конгруэнции на алгебре таких, что

тогда и только тогда, когда

Так как

, то множество не пусто.

Следующее определение дается в работе[2].

Определение 2.1. Пусть

и – конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:

1) из

всегда следует

2) для любого элемента

всегда выполняется

3) если

то

Под термином «алгебра» в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие

.

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом[3], сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1. Пусть

. Тогда:

1) существует единственная конгруэнция

, удовлетворяющая определению 2.1;

2)

;

3) если

то

Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции

на алгебре всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции в и обозначается .

В частности, если

, то централизатор в будем обозначать .

Лемма 2.2. Пусть

, – конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

;

2)

, где ;

3) если выполняется одно из следующих отношений:

4) из

всегда следует

Доказательство:

1) Очевидно, что

– конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .

2)

– конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит

3) Пусть

. Тогда

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор

такой, что

Тогда получим

т.е.

Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).

4) Пусть

Тогда справедливы следующие соотношения:

Следовательно,

где

– мальцевский оператор.

Тогда

то есть

.

Так как

то

.

Таким образом

. Лемма доказана.

Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.

Лемма. 2.3. Любая подалгебра алгебры

, содержащая диагональ , является конгруэнцией на алгебре .

Доказательство:

Пусть

Тогда из