Абелевы универсальные алгебры (стр. 9 из 11)
и
откуда следует, что
т.е.
Пусть
Это означает
Но тогда
и
Следовательно,
Пусть имеет место
Это означает, что
и
Значит,
и 
, т.е. 
. Лемма, доказана.Как известно, наследственной формацией называется класс алгебр, замкнутых относительно фактор-алгебр, подпрямых произведений и относительно подалгебр.
Результаты, полученные в леммах 3.1, 3.3, 3.5 можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 7Класс всех нильпотентных алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией.
Определение 3.3.
-арная группа 
называется нильпотентной, если она обладает таким нормальным рядом 
что
и
для любого
.Так как конгруэнции на
-арных группах попарно перестановочны (смотри, например, ), то это дает возможность использовать полученные результаты в исследовании таких групп.Лемма 3.6. Пусть
– -арная группа. 
и 
– нормальные подгруппы группы и 
.Тогда
, где 
и 
конгруэнции, индуцированные соответственно подгруппами и на группе .Доказательство:
Подгруппы
и индуцируют на группе конгруэнции и , определяемые следующим образом:
– -арная операция.Определим на
бинарное отношение 
следующим образом: 
тогда и только тогда, когда существуют такие последовательности элементов
и 
из и соответственно, что 
Покажем, что
– подалгебра алгебры 
. Для сокращения записи будем в дальнейшем опускать -арный оператор .Пусть
Так как
, то 
Так как
, то
Поэтому в силу того, что
, 
Итак,
– подалгебра алгебры .Пусть
– нейтральная последовательность группы , а, следовательно, и группы . Тогда из определения бинарного отношения следует, что 
Тем самым доказало, что
– конгруэнция на .Тo, что
удовлетворяет определению 2.1, очевидно. Лемма доказана.Лемма 3.7. Пусть
– нильпотентная -арная группа. Тогда удовлетворяет определению 2.1.Доказательство:
Так как
для любого , то 
индуцирует конгруэнцию 
на . Таким образом обладает рядом конгруэнции, который в силу леммы 3.6 будет являться центральным. Лемма доказана.В частности, для произвольной бинарной группы
отсюда следует, что нильпотентна тогда и только тогда, когда, удовлетворяет определению 3.2. В этом случае теорема 3.2 просто констатируе тот факт, что класс всех нильпотентных групп образует наследственную формацию.4. Классы абелевых алгебр и их свойства
Как уже было отмечено в параграфе 3, алгебра
называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций