Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 12 из 15)

Випадок 1. Нехай

. Тоді неабелева й . Звідси й з одиничності випливає, що . Але тоді й, отже, можна розглядати як деяку групу групи , що діє тотожно на всіх - головних факторах групи . По добре відомій теоремі Ф. Холу нильпотентна. Тому що до того ж нормальна в , те . Але тоді для будь - якого , а тому що формація слабко - замкнута за умовою, те . Але тоді , тому що й за умовою . Одержали протиріччя.

Випадок 2. Нехай

. Тоді входить в і є - групою. Тому що , те абелева. Нехай – максимальна підгрупа групи , не утримуюча . Тоді , , , . Звідси, через одиничність , містимо, що , a виходить, . По лемі 3.10 є - групою. Але тоді і є - групою, причому . Ми одержуємо, таким чином, що для кожного . Але тоді , тому що слабко - замкнута. Останнє означає, що - центральна в , що суперечить рівності . Знову одержали протиріччя.

Теорема доведена.

Наслідок 4 Нехай група

має дві нормальні - понад розв'язні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді - понадрозв'язна.

Для того щоб одержати цей наслідок, досить помітити, що побудований екран задовольняє умові теореми при

.

Наслідок 5 Нехай група

має дві нормальні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді понад розв'язна .

Теорема Слепова 6 Нехай формація

має такий локальний екран , що для будь - якого простого формація або збігається з , або входить в і є - замкнутою. Тоді - замкнута.

Доказ. Повторюємо з очевидними змінами доказ теореми .

Теорема Слепова 7 Нехай

– максимальний внутрішній локальний екран формації . Формація - замкнута (слабко - замкнута, ) тоді й тільки тоді, коли для будь - якого простого формація - замкнута (відповідно слабко - замкнута).

Доказ. Достатність випливає з теорем і . Нехай

- замкнута (слабко - замкнута, ). Нехай , де – нормальні - підгрупи (нормальні - підгрупи з попарно взаємно простими індексами). Тому що , те . Покажемо, що .