Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 7 из 15)

Лема 3.6. Кожна східчаста формація має принаймні один екран.

Доказ. Нехай

– екран формації . Визначимо функцію в такий спосіб: для будь - якої групи . Легко бачити, що – екран, причому . Якщо й – головний фактор групи , то . Тому що клас - замкнуть, те , а виходить, - центральний Таким чином, . Отже, , тобто – шуканий внутрішній екран.

Лема 3.7. Нехай

– екран формації . Тоді є екраном формації .

Доказ. Нехай

– довільний головний фактор групи . Нехай . Тому що , те . Виходить, , тобто - в. Звідси треба, що .

Обернено, якщо

, те головний ряд групи буде - центральним для будь - якого , тобто . Отже, .

Лема 3.8. Перетинання

будь - якої непустої множини екранів формації знову є екраном формації . Крім того, якщо в є хоча б один внутрішній екран, те – внутрішній екран.

Доказ. Те, що

– екран формації , безпосередньо треба з леми 3.7. Нехай у є внутрішній екран . Тоді для будь - якої групи . Виходить, – внутрішній екран.

Формація з однорідним екраном

Теорема 3.1. (Шеметков) Усяка формація, що має принаймні один однорідний екран, є локальною формацією.

Доказ. Нехай формація

має однорідний екран. Через лему 3.6 формація має внутрішній однорідний екран . Побудуємо локальний екран , що задовольняє наступній умові: для будь - якого простого . Тоді й, отже, . Припустимо, що формація має групи, що не входять в , і виберемо серед всіх таких груп групу , що має найменший порядок. Тоді є єдиною мінімальною нормальною підгрупою групи . Тому що , те для кожного має місце

Якщо

неабелева, то й . Якщо ж – - група, то виходить, що - центральна в. А це суперечить тому, що . Теорема доведена.

Локальна формація

Неодинична формація, що має локальний екран, містить деякі неодиничні групи.

Визначення 4.1. Формація

називається локальної, якщо вона має хоча б один локальний екран.

Визначення 4.2. Нехай

– внутрішній локальний екран формації , що є максимальним елементом множини всіх внутрішніх локальних екранів формації . Тоді називається максимальним внутрішнім локальним екраном формації .

Теорема 4.1. (Картер і Хоукс [1], Шмид [5]). Локальна формація

має єдиний максимальний внутрішній локальний екран , причому задовольняє наступній умові: для будь - якого простого числа p.

Визначення 4.3. Нехай

– локальна формація. Мінімальний елемент множини всіх локальних екранів формації назвемо мінімальним локальним екраном формації .