Систематичний відбір (стр. 3 из 14)

де

- коефіцієнт кореляції між парами одиниць, що належать до однієї й тієї самої систематичної вибірки. Цей коефіцієнт визначається за формулою

,

де чисельник є середнім по всім

різним парам, а знаменник – середнє по всім значенням . Розпишемо чисельник і знаменник:

Підставивши отримані вирази у

отримаємо:

.

Доведення.

Дисперсія середнього значення

систематичної вибірки дорівнює

.

Звідси маємо

.

Отже,

.

Ділимо обидві частини на

і отримуємо вираз для

.

Останній результат показує, що додатна кореляція між одиницями в одній і тій самій вибірці збільшує дисперсію вибіркового середнього. Навіть мала додатна кореляція може мати великий ефект за рахунок множника

.

Теорема доведена.

Дві попередні теореми виражали

через дисперсію популяції , тобто співвідносили дисперсію з дисперсією для простої випадкової вибірки

.

Існує аналог теореми 1.1.3, в якому

виражена через дисперсію стратифікованої випадкової вибірки, де страти складалися з перших одиниць, других одиниць і т.п. При позначеннях індекс при відповідає номеру страти. Середнє для страти будемо записувати так .

Теорема 1.1.4.

, (1.1.4)

– дисперсія одиниць, що належать до однієї й тієї самої страти. В знаменнику стоїть , тому що кожна з страт вносить ступінь вільності. Величина

.

є коефіцієнтом кореляції між відхиленнями від середнього значення для страти по всім парам одиниць, що належать до однієї й тієї ж систематичної вибірки.

. (1.1.5)

Доведення.

Доведення цієї теореми аналогічно доведенню теореми 1.1.3.

Дисперсія середнього значення

систематичної вибірки дорівнює

Розпишемо середнє значення популяції

через середнє стратифікованої вибірки :

{ - це -та одиниця -ї страти}

.

Отже маємо

.

Отже,

.

Теорема доведена.

Наслідок. Якщо

, то систематична вибірка має ту саму точність, що й відповідна стратифікована випадкова вибірка з однією одиницею у кожній страті.

Це твердження випливає з того, що для такої стратифікованої випадкової вибірки

дорівнює:

.

Теорема 1.1.5. Дисперсія величини

, яка використовується для оцінювання сумарного значення популяції , дорівнює

.

Приклад. У таблиці 1.1.2 наведені данні для невеликої штучної популяції, яка показує тенденцію до досить стійкого зростання значень ознаки у послідовності одиниць. Маємо

, , . Кожний стовпчик відповідає деякій систематичній вибірці, а рядки є стратами. Приклад ілюструє ситуацію, коли кореляція «всередині страт» додатна. Наприклад, у першій вибірці кожне з чотирьох чисел (0, 6, 18, 26) менше середнього значення у страті, до якого воно належить. Це справедливо, з невеликим винятком, для перших п’яти систематичних вибірок. В останніх п’яти вибірках відхилення від середніх значень для страт в основному додатне. Таким чином, члени суми у виразі для переважно додатні. Відповідно до теореми 1.1.4 можна очікувати, що систематичний відбір буде менш точним, ніж стратифікований випадковий відбір з однією одиницею у кожній страті.

Таблиця 1.1.2 Данні по 10 систематичним вибіркам при обсязі вибірок

та обсязі популяції

Страта	Номер систематичної вибірки ( )
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I II III IV	0 6 18 26	1 8 19 30	1 9 20 31	2 10 20 31	5 13 24 33	4 12 23 32	7 15 25 35	7 16 28 37	8 16 29 38	6 17 27 38	4,1 12,2 23,3 33,1
	12, 5	14, 75	15, 25	15, 75	18, 75	17, 75	20, 5	22	22, 75	22	72,7
	50	58	61	63	75	71	82	88	91	88

Середнє значення систематичної вибірки має розподіл