Распределение Пуассона Аксиомы простейшего потока событий (стр. 4 из 8)

Если оценка является смещенной (т.е. последнее равенство не имеет места), то величина смещения

Как мы увидим далее, смещение оценки часто можно устранить, введя соответствующую поправку.

Говорят также, что оценка

является асимптотически несмещенной, если при она сходится по вероятности к своему математическому ожиданию, т.е. для любого

Предположим, что имеются две несмещенные оценки и для параметра . Если дисперсии удовлетворяют условию

(1.3.1)

для любого фиксированного пи

, то следует предпочесть оценку , поскольку разброс статистики относительно параметра меньше, чем разброс статистики

Определение 1.3.1.3. Если в некотором классе несмещенных оценок параметра

, имеющих конечную дисперсию, существует такая оценка , что неравенство (2.1) выполняется для всех оценок из этого класса, то говорят, что оценка является эффективной в данном классе оценок.

оценивать неизвестные параметры и при малых объемах выборки.

Естественным является то требование, при выполнении которого оценка не дает систематической погрешности в сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра

.

Определение 1.3.1.4. Статистику

называют несмещенной оценкой параметра , если ее математическое ожидание совпадает с , т.е. для любого фиксированн_испер

Если оценка является смещенной (т.е. последнее равенство не имеет места), то величина смещения

Как мы увидим далее, смещение оценки часто можно устранить, введя соответствующую поправку.

Говорят также, что оценка

является асимптотически несмещенной, если при она сходится по вероятности к своему математическому ожиданию, т.е. для любого

Предположим, что имеются две несмещенные оценки и для параметра . Если ди_исперсии

удовлетворяют условию

(1.3.2)

для любого фиксированного пи

, то следует предпочесть оценку , поскольку разброс статистики относительно параметра меньше, чем разброс статистики

Определение. Если в некотором классе несмещенных оценок параметра

, имеющих конечную дисперсию, существует такая оценка , что неравенство (3.2) выполняется для всех оценок из этого класса, то говорят, что оценка является эффективной в данном классе оценок.

Иными словами, дисперсия эффективной оценки параметра в некотором классе является минимальной среди дисперсий всех оценок из рассматриваемого класса несмещенных оценок.

Замечание 1.3.1.1. Эффективную оценку в классе всех несмещенных оценок будем называть эффективной оценкой, не добавляя слов „в классе несмещенных оценок".

Замечание 1.3.1.2. В литературе по математической статистике при рассмотрении параметрических моделей вместо термина «эффективная оценка» классе всех несмещенных оценок используют и другие: «несмещенная оценка с минимальной дисперсией», «оптимальная оценка». Теорема 1.3.1. Оценка

(выборочное среднее) математического ожидания

генеральной совокупности Xс конечной дисперсией является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех линейных оценок, т.е. оценок вида

где

, для произвольной

параметрической модели.

Напомним, что элементы

случайной выборки

являются независимыми случайными величинами и распределенными так же, как и сама генеральная совокупность X. Следовательно,

1.4 Критерии согласия

Пусть (X1,..,Xn) - выборка с неизвестным законом распределения F(X). Рассмотрим гипотезы Н0: F(x)=F0(x) при конкурирующей Н1: F(x)¹F0(x). F0(x)- некоторая заданная функция распределения.

Задача проверки гипотез относительно законов распределения называется задачей проверки согласия, а критерий для этой задачи - –ритерием согласия.

Рассмотрим критерий согласия c2, или критерий Пирсона.

Разобьем ось х на т интервалов

Если истинная функция распределения F(x) совпадает с F0(x), то при больших n

Рассмотрим случайную величину (ni - –лучайное)

при

она стремится к c2 - –аспределению случайной величины с т-е-1 степенями свободы (е- число статистических параметров).

Решающее правило для уровня значимости a:

При построении c2n должно выполняться условие ni³10, в противном случае объединяют интервалы.

В случае применения гипотезы Н0 говорят, что различие между F(x) и F0(x) является случайным с доверительной вероятностью 1-a и обусловлено конечностью выборки.

1.5 Теорема Чебышева

Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание МХ и дисперсию DX, справедливо неравенство

где a — любое положительное число.

Доказательство. Доказательство проведём сначала для непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x).

Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайная точка Х попадает за пределы участка (MX-a; MX+a), то есть

А: {|X-MX|³a}

aa

MX -a MX MX+a