Высшая математика в задачах и упражнениях (стр. 10 из 20)

Решение. Находим первую производную:

.

Из уравнений

и получаем точки, «подозрительные» на экстремум: , , . Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака :

	-		+		-		-
	убыв.	возр.	не опред.	убыв.		убыв.

В первой строке указаны интервалы, на которые область определения функции разбивается точками

, , и сами эти точки. Во второй строке указаны знаки производной в интервалах монотонности. В третьей строке приведено заключение о поведении функции.

Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет минимум в точке

: .

Точки

и не являются точками экстремума, так как в первой точке функция не определена, а в окрестности второй точки первая производная сохраняет знак.

Пример 4. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Точка

является точкой разрыва функции. Так как

,

то прямая

служит вертикальной асимптотой

графика функции [см. формулы (7)].

Ищем наклонные асимптоты

, используя формулы (6):

,

.

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид

.

Пример 5. Построить график функции

, используя общую схему исследования функции.

Решение.

Область определения функции:

, . Функция не является симметричной и периодической. Находим предельные значения функции:

; ; .

График функции имеет одну вертикальную асимптоту

и одну наклонную асимптоту (см. пример 4). Он пересекает координатные оси в точке .

Функция имеет один минимум при

(см пример 3).

Вторая производная

обращается в бесконечность при и равна нулю в точке , которая является единственной точкой перегиба (см. таблицу):

	+		+		-
	È	не опр.	È	точка перегиба	Ç

Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 8)

:

Рисунок 8

Пример 6. Найти первую производную функции y=f(x) , заданной параметрически:

.

Решение. Дифференцируем

и по параметру : ,

. Искомая производная от y по x равна отношению производных от и по :

.

Пример 7. Найти частные производные

, , функции

.

Решение. Считая функцию

функцией только одной переменной , а переменные и рассматривая как постоянные [см. формулу (8)], находим . Аналогично, считая функцией только , а затем только , получаем , .