Высшая математика в задачах и упражнениях (стр. 5 из 20)
.Матричное решение системы в силу формулы (13) имеет вид:
,откуда следует, что
.Пример 2. Исследовать систему уравнений и найти её общее решение
Решение. Однородная система имеет нетривиальное решение, если ранг матрицы системы
меньше числа неизвестных. Приведем матрицу А к трапециидальному виду путем элементарных преобразований. Умножим 1-ю строку на 4 и на 8 и вычтем, соответственно из 2-й и 3-й строки, получим:
.Вычтем из 3-й строки 2-ю, а затем разделим 2-ю строку на 5:
.Таким образом, ранг матрицы А равен 2 и меньше числа неизвестных
. Примем за основные переменные x1 и x2; свободная переменная – x3. Тогда данная система сводится к системе уравнений 
решение которой имеет вид
Придавая свободной переменной x3 произвольные значения x3=5t, где 
, получим общее решение системы в виде
Пример 3. По координатам вершин пирамиды A(3;-2;2), B(1;-3;1), C(2;0;4), D(6;-4;6) средствами векторной алгебры найти:
1) длины ребер ABи AC;
2) угол между ребрами ABи AC;
3) площадь грани ABC;
4) проекцию вектора 
на 
;
5) объем пирамиды ABCD;
6) уравнения прямых AB и AC;
7)уравнения плоскостей ABCи ABD;
8) угол между плоскостями ABC и ABD.
Решение.
1) Найдем векторы
и : 
.Длины этих векторов, т.е. длины ребер ABи AC, таковы:
2) Скалярное произведение векторов
и найдем по формуле (21): 
,а косинус угла между ними – по формуле (24):
.Отсюда следует, что
– тупой угол, равный 
рад с точностью до 0.01. Это и есть искомый угол между ребрами AB и AC.3) Площадь грани ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах
и , т.е. половина модуля векторного произведения этих векторов (см. формулу 29): 
.Здесь определитель вычисляется с помощью разложения по первой строке. Следовательно,
(кв. ед.)4) Проекцию вектора
на 
найдем по формуле (23): 
.5) Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах
, , 
. Вектор 
. Используя формулу (31), получим:
(куб. ед.).6) Уравнения прямых AB и ACнайдем как уравнения прямых проходящих через две данные точки, по формуле (48):
(AB)
(AC)
7) Уравнения плоскостей ABCи ABD получим, используя формулу (42):
т.е.
т.е.
По уравнениям плоскостей определим их нормальные векторы:
и 
.8) Угол
между плоскостями ABC и ABD найдем по формуле (43):
,откуда
рад.Пример 4. Прямая l задана в пространстве общими уравнениями
Найти её канонические и параметрические уравнения. Составить уравнения прямой l1, проходящей через точку М1(1,1,1) параллельно прямой l и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М1 на прямую l.
Решение. По уравнениям плоскостей, задающих прямую l, определяем их нормальные векторы:
и 
. Направляющий вектор 
прямой lнайдем по формуле (47):
.Координаты точки М1, через которую проходит прямая l, найдем, полагая
, из системы 
т.е. координаты точки М1(0;-2;0). Используя формулу (46), запишем уравнения прямой l:
Вводя параметр t, перейдем к параметрическим уравнениям прямой l:
За направляющий вектор
прямой l1, параллельной прямой lпримем вектор 
. Тогда канонические уравнения прямой l1, проходящей через точку М1 запишутся в виде: 
Для нахождения проекции М2 точки М1 на прямую l составим уравнение плоскости, проходящей через точку М1 и перпендикулярной l. За нормальный вектор плоскости
примем направляющий вектор , получим: 
Найдем координаты точки М2 из системы:
Подставляя первые три уравнения в четвертое, найдем
, откуда 
т.е. М2(0;-1;2).Расстояние
между прямыми l1 и l2 равно длине вектора 
, 
Пример 5. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы:
.Решение. Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид (19)
,откуда следует, что матрица A имеет два собственных значения
и 
. Собственный вектор 
, соответствующий 
, определяется из системы уравнений вида (20)