Высшая математика в задачах и упражнениях (стр. 6 из 20)
или 
которая сводится к одному уравнению
. Полагая 
, получаем решение в виде 
, . Пронормируем это решение, т.е. найдем такое значение 
, при котором длина собственного вектора равна единице: 
.Следовательно, первый собственный вектор есть
.Аналогично найдем второй собственный вектор
: 
или 
Таким образом, матрица имеет два различных собственных значения
и 
и два собственных вектора.Контрольная работа № 2. Введение в анализ. Комплексные числа
Литература: [2], гл. II, III; [4], т. 1, гл. I, II, VII, §1-5; [5], гл. I-III, VIII, §1; [8], гл. I, §1-3, гл. 3, §13.
Основные теоретические сведения
1. Прямоугольные координаты (x, y) точки M и её полярные координаты
связаны отношениями: 
(1)где
- полярный радиус, а 
- полярный угол точки M (Рисунок 2). 
Рисунок 2
2. Определение конечного предела функции в точке: число A называется пределом функции
при 
, если для любого 
найдется 
такое, что 
при 
. Обозначение: 
или .Функция
(F(x)) называется бесконечно малой (бесконечно большой) при , если 
( 
).Две функции f(x) и
(x), одновременно стремящихся к нулю или бесконечности при , называются эквивалентными, если 
.Обозначение: f(x) ~
(x).Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не измениться, если каждую из них заменить эквивалентной её функцией, т.е.
, (2)если f(x) ~ f1(x),
(x) ~ 1(x).3. К основным элементарным функциям относятся:
1) степенная функция
;2) показательная функция
;3) логарифмическая функция
;4)тригонометрические функции:
;5) обратные тригонометрические функции:
.Предел элементарной функции в точке её определения равен частному значению функции в этой точке:
.Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида
. Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:1) сокращение на множитель, создающий неопределенность;
2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при
);3) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;
4) использование двух замечательных пределов:
; 
(3)Отметим также, что
, если 
; 
, если 
; 
, если , 
; 
, если , 
.4. Функция f(x)называется непрерывной в точке
, если:1) частное значение функции в т очке
равно f(а);2) существуют конечные односторонние пределы функции
, 
; (4)3) односторонние пределы равны
; (5)4) предельное значение функции в точке
равно её частному значению f(a): 
. (6)Обозначение:
.Точка
называется точкой устранимого разрыва, если 
[нарушается условие (6)].Точка
называется точкой разрыва первого рода, если оба односторонних предела конечны, но 
[нарушается условие (5)].Точка
называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности [нарушается условие (4)].5. Выражение вида
называется комплексным числом (в алгебраической и тригонометрической форме соответственно). Здесь 
, 
- действительная часть, a 
- мнимая часть комплексного числа z; и - модуль и аргумент числа z: