Нормированные пространства (стр. 3 из 8)

С другой стороны:

при

Это и доказывает равенство (1).

Пусть теперь

. По (1), учитывая, что

, получаем

(2’)

При

Следовательно, из соотношения (2’), делая замену переменных

, получим первое равенство (2).

Далее, для любого

выполняется

(интегрирование по частям:

Для доказательства второго равенства в (2) достаточно устремить в последнем соотношении число

и использовать оценку:

при

Предложение 2 доказано.

Замечание. Если функция

задана на

, то, применяя равенство (2) для функции

, и учитывая, что

, получим

(3)

Глава II. Интерполяция в пространствах суммируемых функций.

§1. Теорема Марцинкевича и ее применение.

Одной из важнейших в теории интерполяции является теорема Ж.Марцинкевича, доказанная им в 1939 году. Прежде чем рассмотреть теорему, докажем предложение.

Пусть дана функция

. Положим для

Предложение 3. Пусть

, для любого положительного числа

– функции, описанные выше. Тогда

Доказательство.

Нужно показать, что

, т.е.

I. Для функции

1) если 0<t

, то

, т.к.

2) Пусть t>1.

Обозначим

. Конечность

доказана в первом случае. Рассмотрим второй интеграл.

Покажем, что

. Предположим противное, что

, т.к.

. С другой стороны,

. Но

на

, т.е.

, а это противоречие. Получили, что

конечна и т.к. интеграл от ограниченной функции по конечной мере конечен, то

. Тогда

II.для функции

1) если

, то

2) Пусть

Пусть

. Конечность

доказана в первом случае. Нужно показать, что

конечен.

Докажем, что

. Предположим противное, что

(

С другой стороны

. Но

, т.е.

. Пришли к противоречию.

Получили, что

конечна и т.к. интеграл от ограниченной функции по конечной мере конечен, то

. Следовательно,

. Предложение доказано.

Следствие. Для всех

справедливо включение:

Замечание 2. Пусть оператор

задан на пространстве

и на

. Тогда оператор

можно распространить с сохранением линейности до оператора, действующего из пространства

т.е.

для любой функции