Нормированные пространства (стр. 5 из 8)
Утверждение 4 . Пусть оператор
, где 
плотно в 
– банахово пространство. Тогда оператор 
можно распространить на 
, т.е. существует оператор 
, такой, что 
и 
.Доказательство.
Возьмем
из . По определению существует последовательность 
из такая, что 
стремится к , при 
стремящемся к 
.Докажем, что
из 
будет фундаментальной последовательностью. Тогда, т.к. полное, последовательность будет сходящейся.Возьмем произвольное положительное число
. Найдем номер 
, для которого выполняется 
.Тогда 
. Следовательно, последовательность 
фундаментальная.Пусть
стремится к 
. Определим оператор 
равенством 
.а) Проверим корректность определения оператора
.Итак,
стремится к , стремится к . Возьмем другую последовательность 
, имеющую в пределе . Тогда 
будет стремится к некоторому элементу 
.Составим новую последовательность 
Ее пределом будет . Пусть соответствующая последовательность 
стремится к 
. Из последней можно выбрать две подпоследовательности 
и 
, сходящиеся соответственно к и .Следовательно, 
и 
, т.е. и совпадают.б) Докажем линейность оператора А. Пусть
Х; 
- произвольные числа. Рассмотрим элемент 
. По определению существуют последовательности {xn},{yn}, такие, что 
. Тогда 
. 
.Получили
, что и означает по определению линейность оператора А. При этом, т.к. если 
, то в качестве можно взять 
для всех n. Тогда 
и 
.в) Докажем непрерывность оператора А.
Возьмем
. 
, 
. 
. По теореме о предельном переходе в неравенстве будет выполняться неравенство 
. Т.к. по определению 
- это наименьшая из констант, удовлетворяющих данному неравенству, то 
. (*)С другой стороны, по определению
, 
. Так как 
, то 
. (**)Учитывая неравенства (*) и (**) , установили равенство
. Таким образом, утверждение доказано.Определение. Функция
называется простой, если она представляет собой конечную линейную комбинацию характеристических функций попарно непересекающихся измеримых множеств 
, где 
.Теорема Лебега. Если последовательность
на сходится к и при всех 
, где 
суммируема на , то предельная функция суммируема на и 
.