Нормированные пространства (стр. 4 из 8)
Такое определение функции
не зависит от выбора 
и 
Действительно. Возьмем другое представление функции 
: 
, где 
т.е. 
Нужно доказать, что 
.Из условия следует
. Левая часть равенства – это функция из 
правая часть - из 
Применим к равенству оператор T: 
. Так как T линеен в пространствах 
и 
, то 
. Отсюда , что и требовалось доказать.Теорема Марцинкевича. Если линейный оператор Т имеет слабый тип
и одновременно слабый тип 
, то Т имеет тип 
для любого 
из интервала 
Доказательство.
Считаем, что
. Фиксируем функцию 
и положительное число 
. Оценим величину 
Пусть
и 
функции, описанные выше.Тогда
и 
по замечанию 2.Следовательно,
.Используя оценки слабого типа
, находим, что при положительном 
.Из последнего неравенства и формулы (3) из замечания 1 получаем
, т.е. оператор Т имеет тип . Теорема доказана.В качестве применения этой теоремы рассмотрим следующий пример.
Утверждение 2. Пусть
. Тогда оператор 
будет непрерывным оператором в пространстве 
, 
.Доказательство.
Рассмотрим два случая, когда
и 
. Докажем, что оператор 
является оператором типа для этих случаев. Тогда по предложению 1 будет оператором слабого типа для и . Применив интерполяционную теорему Марцинкевича, получим, что – оператор типа для любого 
, а это равносильно его непрерывности.1)
и 
. Докажем, что найдется число 
, такое, что 
Учитывая последнее равенство и то, что для любого действительного числа
верно 
, получим 
, где 
.2)
.Нужно доказать, что
Для
почти всюду выполняется неравенство: 
. (*)Обозначим
, 
. 
. Так как 
, то 
.Исходя из последнего соотношения и неравенства (*), получаем
.Таким образом, доказали, что оператор свертки
непрерывен в пространстве для любого р³1.§2. Интерполяционная теорема Рисса – Торина
и ее применение.
Прежде чем рассмотреть теорему Рисса – Торина и ее приложение, приведем определения и докажем факты, связанные с теорией банаховых пространств, которые понадобятся для этого.
Определение. Последовательность
метрического пространства Х называется фундаментальной, если 
.Верно следующее утверждение.
Утверждение. Если последовательность
сходится, то она фундаментальная.Обратно верно не всегда.
Определение. Метрическое пространство
называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.Определение. Если пространство
, порожденное нормой, является полным, то линейное нормированное пространство называется банаховым.Определение. Пусть
– банахово пространство, 
– подпространство в . называется всюду плотным вХ, если 
, т.е. 
, такая, что 
.