Дослідження універсальних абелевих алгебр (стр. 10 из 11)
Розглянемо конгруенцію
Дійсно, якщо
для
, те 
і для кожної
-арної опеации 
маємо 
Але оскільки
підалгебра алгебри 
, одержуємо 
Виходить,
підалгебра алгебри 
.Очевидно, що для будь-якого елемента
має місце 
Таким чином,
конгруенція на алгебрі 
.Нехай
тоді
те
Якщо , те 
і, виходить,
Нехай, нарешті,
Тоді
і значить
.Отже, конгруенція
задовольняє визначенню 2.1. Лема доведена.Лема 4.2. Фактор-Алгебра абелевої алгебри абелева.
Доказ:
Нехай алгебра
– абелева, тобто 
. Покажемо, що для будь-якої конгруенції 
на виконується 
Нехай
– конгруенція на алгебрі 
, що задовольняє визначенню 2.1.Визначимо бінарне відношення
на алгебрі 
в такий спосіб:
тоді й тільки тоді, коли найдуться такі елементи
, 
, 
, 
, що 
Безпосередньою перевіркою переконуємося, що
– конгруенція на алгебрі 
.У такий спосіб залишилося показати, що
задовольняє визначенню 2.1. Нехай 
тоді
Нехай
Тоді
, і по визначенню 2.1
При цьому
й 
. Відповідно до наших позначень одержуємо, що 
Нехай
Тоді найдуться
, що 
и
При цьому
Отже,
Але тоді по визначенню 3.1.
. А тому що 
, те 
Тепер з того, що
треба, що
Лема доведена.
Лема 4.3. Прямий добуток кінцевого числа абелевих алгебр абелево.
Доказ:
Очевидно, досить показати, що якщо
, і 
– абелеви алгебри, те – абелева алгебра.Нехай
і 
. Це означає, що на алгебрах 
і 
задані конгруенції 
й 
задовольняюче визначення 2.1.Визначимо бінарне відношення
на алгебрі 
в такий спосіб: 
тоді й тільки тоді, коли
и
Безпосередньою перевіркою переконуємося, що
– конгруенція на алгебрі .У такий спосіб залишилося показати, що
задовольняє визначенню 2.1.Нехай
тоді
Нехай
. Це означає, що 
й 
. Але тоді 
и
