Дослідження універсальних абелевих алгебр (стр. 8 из 11)
У такий спосіб залишилося показати, що
задовольняє визначенню 2.1.Нехай
тоді зі співвідношення
треба, що
Тому що
те
. Отже,
Нехай
. Тоді для деякого елемента 
, 
і 
.Таким чином,
отже,
Тому що
, те це означає, що 
Нехай
де
Покажемо, що
. У силу визначення 
найдуться 
, що 
При цьому мають місце наступні співвідношення:
Отже,
Але тоді по визначенню 3.2.
А тому що
, те 
Тепер з того, що
треба, що
Лема доведена.
Доказ наступного результату здійснюється простою перевіркою.
Лема 3.4. Нехай
– конгруенція на алгебрі 
, 
. Полога 
тоді й тільки тоді, коли
для кожного , одержуємо конгруенцію 
на алгебрі 
.Лема 3.5. Прямий добуток кінцевого числа нильпотентних алгебр нильпотентне.
Доказ:
Очевидно, досить показати, що якщо
, 
і 
– нильпотентне алгебри, те 
– нильпотентна алгебра.Нехай
центральні ряди алгебр
і відповідно. Якщо 
, те, ущільнивши перший ряд повторюваними членами, одержимо центральний ряд алгебри довжини 
. Таким чином, можна вважати, що ці ряди мають однакову довжину, рівну 
.Побудуємо тепер ряд конгруенції на алгебрі
в такий спосіб: 
де
тоді й тільки тоді, коли 
, 
, 
.Покажемо, що останній ряд є центральним, тобто
для довільного . Тому що 
те на алгебрах
і 
відповідно задані конгруенції 
й 
, що задовольняють визначенню 2.1.Визначимо бінарне відношення
на алгебрі 
в такий спосіб: 
і тільки тоді, коли
и
Легко безпосередньою перевіркою переконатися, що
– конгруенція на алгебрі 
. Залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1.Нехай має місце
Тоді відповідно до уведеного визначення
звідки треба, що
т.е.
Нехай
Це означає
Але тоді
и
Отже,
Нехай має місце
Це означає, що
Виходить,
і 
, тобто 
. Лема, доведена.Як відомо, спадкоємною формацією називається клас алгебр, замкнутих відносно фактор-алгебр, підпрямих добутків і відносно підалгебр.
Результати, отримані в лемах 3.1, 3.3, 3.5 можна сформулювати у вигляді наступної теореми.
Теорема 7 Клас всіх нильпотентних алгебр мальцевського різноманіття є спадкоємною формацією.