Дослідження універсальних абелевих алгебр (стр. 4 из 11)
Доказ:
Позначимо
й визначимо на алгебрі 
бінарне відношення 
в такий спосіб: 
тоді й тільки тоді, коли
де
Використовуючи лему 2.3, неважко показати, що
– конгруенція на алгебрі 
, причому 
Нехай
Тобто
Тоді
і, значить
Нехай, нарешті, має місце
Тоді справедливі наступні співвідношення:
застосовуючи мальцевський оператор
до цим трьох співвідношенням, одержуємо 
З леми 2.2 треба, що
Тому що
те
Виходить,
Але
, отже, 
.Отже,
і задовольняє визначенню 2.1. Лема доведена.
Лема 2.5. Нехай
, 
– конгруенції на алгебрі 
, 
і 
– ізоморфізм, певний на .Тоді для будь-якого елемента
відображення 
визначає ізоморфізм алгебри 
на алгебру 
, при якому 
.Зокрема,
.Доказ.
Очевидно, що
– ізоморфізм алгебри на алгебру 
, при якому конгруенції , ізоморфні відповідно конгруенціям 
і 
.Тому що
те визначена конгруенція
задовольняючому визначенню 2.1.
Ізоморфізм
алгебри на алгебру індуцирує у свою чергу ізоморфізм 
алгебри 
на алгебру 
такий, що 
для будь-яких елементів
і 
, що належать . Але тоді легко перевірити, що 
– конгруенція на алгебрі , ізоморфна конгруенції 
.Це й означає, що
Лема доведена.
Визначення 2.2. Якщо
й 
– фактори на алгебрі такі, що 
те конгруенцію
позначимо через 
і назвемо централізатором фактору в. Нагадаємо, що фактори
й 
називаються перспективними, якщо або 
або
Доведемо основні властивості централізаторів конгруенції.
, 
, , – конгруенції на алгебрі . Тоді:1) якщо
, те 
2) якщо
, те 
3) якщо
, 
і фактори , перспективні, те 
4) якщо
– конгруенції на 
й 
, те 
де
, 
.