Функция многих переменных (стр. 4 из 12)
Теорема 6.2. Всякая непрерывная на промежутке [a;b] функция имеет на этом промежутке первообразную.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
1. (
)’=f(x).2.
=F(x) +С.3. d
= f(x)dх.4.
= 
.5. Если
=F(x) +С и и= 
- произвольная функция, которая имеет непрерывную производную, то 
=F(и) +С.В частности,
= 
F(ax+b) +С.Из очень важного свойства 5 следует, что таблица интегралов остаётся верной независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или произвольной дифференцированной функцией. Таким образом, из одной формулы можно получать много других.
Пример.
= 
+С 
= 
= 
+С, 
= 
= 
+С, 
= 
+С.2. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1.
.2.
3.
а>0, 
.4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Непосредственныминтегрированием называют вычислениеинтегралов с помощью основных свойствнеопределённого интеграла и таблицы интегралов.
Пример.
Метод подстановки является одним из основных методов интегрирования. Больше того, изучение методов интегрирования в основном сводится к выяснению того, какую подстановку надо сделать в том или ином случае.
Пример.
Этот пример можно было бы решить и так:
Такой метод интегрирования называется методом введения функции под знак дифференциала.
3. Пусть и(х), v(x) – функции, которые имеют на некотором промежутке непрерывные производные. Тогда
d(uv) = udv + vdu
или
udv= d(uv) –vdu.
Интегрируя это равенство, получим
или, учитывая свойство 2 неопределённых интегралов,
.Эту формулу называют формулой интегрирования по частям.
Укажем некоторые интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:
1) в интегралах
, где k – натуральное число, за и следует брать хk, а за dv – выражение, которое осталось;2) в интегралах
, следует обозначать dv= хkdx.Неопределённый интеграл существует для произвольной непрерывной функцииf(x), то есть
=F(x) +С. Но при этом не всегда первообразная F(x) является элементарной функцией. О таких интегралах говорят, что они ”не берутся”. Например, 
=F(x) +С, где F(x) = х - 
+ 
- 
+... .Не берутся такие интегралы:
- интегральный логарифм, 
- интегральный синус, 
- интегральный косинус, 
, 
- интегралы Френеля и другие.В связи с этим важно выделить такие классы функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции. Одним из таких классов функций, интегралы от которых всегда ”берутся”, является класс рациональныхфункций.
Лекция 13. Тема –Элементарные дроби и их интегрирование.Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.
План.
1. Рациональные функции. Элементарные дроби и их интегрирование.
2. Разложение правильной рациональной дроби на элементарные дроби.
3. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.
1.Рациональной функцией или рациональной дробью называют дробь
где Рт(х), Qn(x) – многочлены степени т и п:
Qn(x) =
хп+ 
хп -1+...+ 
, Рт(х) = 
хт+ 
хт -1+...+ 
.Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя т<п, и неправильной, если т 
п.