Функция многих переменных (стр. 5 из 12)

Неправильную дробь всегда можно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Поскольку многочлены интегрируются очень легко, то задача интегрирования рациональных функций сводится, таким образом, к интегрированию правильных дробей. Правильные дроби, в свою очередь раскладываются на элементарные дроби. Поэтому рассмотрим интегрирование элементарных дробей.

Различают четыре вида элементарных дробей:

І.

, ІІ. , ІІІ. , ІV. ,

где п=2,3,..., а трехчлен х²+рх+qне имеет действительных корней, то есть D=р²-4q<0.

Рассмотрим, как интегрируются эти дроби.

І.

ІІ.

ІІІ. Пример.

--- = - .

2. Как известно из алгебры, многочлен Q_n(x) степени п может быть разложен на линейные и квадратичные множители

Q_n(x) =

(х-х

)k

_…(х-х_r)k

(x²+p

x+q

)l

…(x²+p

x+q

)l

,

где

, х

, p

, q

- действительные числа; k

, I

- натуральные числа; k

+…+ k

+2(I

+…+ I

)=n, р

²- 4 q

<0.

Рассмотрим правильную рациональную дробь

знаменатель которой уже разложен на линейные и квадратичные множители. Тогда эту дробь можно разложить на сумму элементарных дробей по таким правилам:

1) множителю (х-а)^k соответствует сумма дробей вида

+ +…+ ;

2) множителю (x²+px+q)^I соответствует сумма дробей вида

+ +…+ ,

где А

,М

,N

- неопределённые коэффициенты.

Искать эти неопределённые коэффициенты можно исходя из того, что равные многочлены имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х.

Пример. Вычислить интеграл

.

Решение.

+ ,

х+5=А(х+2)+В(х+1),

А=4, В=-3.

= 4 -3 = 4ln -3ln +C.

3. 1.Интегралы вида

где R(х, у) – рациональная функция относительно х и у,

, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки

ax+b=t

.

2. Интегралы вида

где R – рациональная функция, p

, q

- целые числа, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки

=t

,

где п – общий знаменатель дробей

, ,… .

3. Интегралы вида

(6.1)

всегда сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой, универсальной тригонометрической подстановки

, , ,

х=2arctgt, dx=

.

Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда приводит к цели, но в силу своей универсальности она часто требует неоправданно громоздких вычислений. Поэтому во многих случаях удобнее пользоваться другими подстановками. Рассмотрим некоторые из них.

1) Если в интеграле (6.1) R(-sinx, cosx)= - R(sinx, cosx), то удобно делать подстановку cosx=t.

2) Если R(sinx,-cosx)= - R(sinx, cosx), то удобно делать подстановку sinx=t.

3) Если R(-sinx, -cosx)= R(sinx, cosx), то удобно делать подстановку

tgx=t,

, ,

х=arctgt, dx=

.

4. Рассмотрим более детально интегралы вида

,

где т, п – целые числа.

1) Если т – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку cosx=t.