Функция многих переменных (стр. 9 из 12)
2)
= 
- однородная функция нулевого измерения.Уравнение y’=
называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функция является однородной функцией нулевого измерения, то есть, если 
(7.2)
Очевидно, уравнение вида
будет однородным тогда и только тогда, когда функции Р(х,у) и Q(х,у), будут однородными функциями одного и того же измерения. Например, уравнение
однородное. Считая, в соотношении (7.2)
, получим 
Поэтому можно дать ещё одно определение однородного уравнения: однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида
(7.3)
Применим в уравнении (7.3) подстановку
, 
, 
Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными
,которое всегда интегрируется в квадратурах:
, 
.После интегрирования надо сделать обратную замену, то есть вместо и нужно подставить
Вывод. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка всегда сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой
, .Пример 7.6. Найти общее решение уравнения
Решение. Применим подстановку
, . Тогда получим 
, 
, 
, 
, 
, 
.Пример 7.7. Решить задачу Коши
, у(1)=2.Решение. Поскольку обе функции
однородные измерения два, то данное уравнение однородное. Запишем его в виде
и применим подстановку
, . Тогда получим 
, 
, 
, 
.Из начального условия найдём постоянную интегрирования:
Подставив найденное значение С в общее решение, получим решение задачи Коши:
Лекция 16. Тема – Уравнения Бернулли. Комплексные числа. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
План.
1.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
2. Комплексные числа.
3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
1. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
(7.4)где
- известные функции переменной х.Термин «линейное уравнение» поясняется тем, что неизвестная функция у и её производная у’ входят в уравнение в первой степени, то есть линейно.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка всегда интегрируемо в квадратурах, поскольку его можно всегда свести к двум уравнениям с разделяющимися переменными таким образом (методом Бернулли).
Будем искать решение уравнения (7.4) в виде произведения
(7.5)где
- неизвестные функции х. Находя производную 
и подставляя значение у и у’ в уравнение (7.5), получим
(7.6)Выберем функцию
так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю. Для этого надо решить уравнение с разделяющимися переменными. 
Решая его, находим
. (7.7)Постоянную интегрирования в выражении (7.7) не пишем, поскольку нам достаточно найти только какую-нибудь одну функцию
, которая преобразовывает в ноль выражение в скобках в уравнении (7.6).Подставляя (7.7) в (7.6), получим
(7.8)Подставляя (7.7) и (7.8) в (7.5), найдём общее решение уравнения (7.4):
(7.9)Замечание. На практике помнить формулу (7.9) не обязательно: достаточно лишь помнить, что линейные дифференциальные уравнения первого порядка, а также уравнения Бернулли, решаются методом Бернулли с помощью подстановки
.Уравнением Бернулли называется уравнение вида
где
- известные функции х, 
.2.Комплексным числом называется выражение
, (7.10)где х, у – действительные числа, а символ i– мнимая единица, которая определяется условием
. При этом число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается 
, а у – мнимой частью z и обозначается 
(от французских слов: reel – действительный, imaginare – мнимый). Выражение (7.10) называется алгебраической формой комплексного числа.Два комплексных числа
и 
, которые отличаются только знаком мнимой части, называются сопряжёнными.