Термодинамика (стр. 7 из 8)
Лазер - это устройство , в котором в процессе стимулированного излучения порождаются фотоны .
Изменение со временем числа фотонов n , или другими словами , скорость порождения фотонов , определяется уравнением вида :
dn / dt = «Прирост» - «Потери» (3.2)
Прирост обусловлен так называемым стимулированном излучением . Он пропорционален числу уже имеющихся фотонов и числу возбужденных атомов N . Таким образом :
Прирост = G N n (3.3)
Здесь G - коэффициент усиления , который может быть получен из микроскопической теории . Член , описывающий потери , обусловлен уходом фотонов через торцы лазера . Единственное допущение , которое мы принимаем , - это то , что скорость ухода пропорциональна числу имеющихся фотонов . Следовательно ,
Потери = 2cn (3.4)
2c = 1/ t0 , где t0 - время жизни фотона в лазере .
Теперь следует учесть одно важное обстоятельство , которое делает (2.1) нелинейным уравнением вида :
(3.5)
Число возбужденных атомов уменьшается за счет испускания фотонов . Это уменьшение DN пропорционально числу имеющихся в лазере фотонов , поскольку эти фотоны постоянно заставляют атомы возвращаться в основное состояние .
DN = an (3.6)
Таким образом , число возбужденных атомов равно
N = N0 - DN (3.7)
где N0 - число возбужденных атомов , поддерживаемое внешней
накачкой , в отсутствии лазерной генерации.
Подставляя (3.3) - (3.7) в (3.2) , получаем основное уравнение нашей упрощенной лазерной модели :
(3.8)
где постоянная k дает выражение :
k1 = aG
k = 2c - GN0 >< 0 (3.9)
Если число возбужденных атомов N0 (создаваемых накачкой) невелико , то k положительно , в то время как при достаточно больших N0 k - может стать отрицательным . Изменение знака происходит когда
GN0 = 2c (3.10)
Это условие есть условие порога лазерной генерации .
Из теории бифуркации следует , что при k > 0 лазерной генерации нет , в то время как при k < 0 лазер испускает фотоны.
Ниже или выше порога лазер работает в совершено разных режимах .
Решим уравнение (3.8) и проанализируем его аналитически :
- это уравнение одномодового лазера .
Запишем уравнение (3.8) в следующем виде :
Разделим исходное уравнение на n2 .
и введем новую функцию Z :
1/n = n-1 = Z Þ Z1 = - n-2 следовательно уравнение примет вид :
перепишем его в следующем виде :
разделим обе части данного уравнения на -1 , получим
(3.11)
Уравнение (3.11) - это уравнение Бернулли , поэтому сделаем следующую замену Z = U×V , где U и V неизвестные пока функции n , тогда Z1 = U1 V + U V1 .
Уравнение (3.11) , после замены переменных , принимает вид
U1 V + UV1 - k UV = k1
преобразуем , получим
U1 V + U(V1 - k V) = k1 (3.12)
Решим уравнение (3.12)
V1 - k V = 0 ® dV/dt = k V
сделаем разделение переменных dV/V =k dt ® ln V = k t
результат V = ekt (3.13)
Отсюда мы можем уравнение (3.12) переписать в виде :
U1 ekt = k1
- это то же самое , что dU/dt = k1e-kt , dU = k1e -kt dt выразим отсюда U , получим
(3.14)
По уравнению Бернулли мы делали замену Z = U V подставляя уравнения (3.13) и (3.14) в эту замену , получим
Ранее вводили функцию Z = n-1 , следовательно
(3.15)
Начальное условие n0=1/(c-k1/k) , из этого условия мы можем определить константу с следующим образом
Подставляя , найденную нами константу в уравнение (3.15) , получим
(3.16)
Исследуем функцию (3.16) при k = 0 , k < 0 , k > 0 .
При k®0 ; ekt ® 0 ; (ekt - 1)®0 , то есть (ekt - 1)×k1/k®0×¥ (неопределенность) , раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя . Эту неопределенность вида 0×¥ следует привести к виду . При этом , как и всегда при применении правила Лопиталя , по ходу вычислений рекомендуется упрощать получившиеся выражения , следующим образом :
n(k)при k®0 ® 0 , следовательно
Перепишем (3.16) в следующем виде
Линеаризуем нелинейное уравнение , получим
ln n = - kt + c Þ
Построим график для этих условий
Рис. 3.3 К самоорганизации в одномодовом лазере :
кривая 1 : k < 0 , режим лазерной генерации
кривая 2 : k = 0 , точка бифуркации , порог
кривая 3 : k > 0 , режим лампы.
При k = 0 уравнение (3.8) примет вид
решая его , получим
(3.8)
При условии ; n(t) = const , функция (3.8) приближается к стационарному состоянию , не зависимо от начального значения n0 , но в зависимости от знаков k и k1 (смотри рисунок 3.3).
Таким образом , функция (3.8) принимает стационарное решение
3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ .
О распространении и численности видов была собрана обширная информация . Макроскопической характеристикой , описывающей популяцию , может быть число особей в популяции . Это число играет роль параметра порядка . Если различные виды поддерживаются общим пищевым ресурсом , то начинается межвидовая борьба , и тогда применим принцип Дарвина : выживает наиболее приспособленный вид . ( Нельзя не отметить сильнейшую аналогию , существующую между конкуренцией лазерных мод и межвидовой борьбой ). Если имеются однотипные пищевые ресурсы , то становится возможным сосуществование видов . Численность видов может быть подвержена временным колебаниям.
ОДИН ВИД.
Рассмотрим сначала одну популяцию с числом особей в ней n . При наличии пищевых ресурсов А особи размножаются со скоростью :
и гибнут со скоростью :
Здесь k и d - некоторые коэффициенты рождаемости и смертности , в общем случае зависящее от параметров внешней среды обитания . Если бы количество пищи было неограниченно , то эволюционное уравнение выглядело бы так :
Введем обозначение a = kA - d
Оно было бы линейным и описывало бы неограниченный экспериментальный рост (при kA > d), либо экспериментальную гибель (при kA < d) популяции.
Рис. 3.4 Кривая 1: Экспоненциальный рост ; a>0 , kA>d
Кривая 2: Экспоненциальная гибель ; a>0 , kA>d.
В общем случае , однако , пищевые ресурсы ограничены , так что скорость потребления пищи
Вместе с тем в общем случае возможно восстановление пищевых ресурсов со скоростью :
Здесь , конечно , рассмотрен придельный случай сохранения полного количества органического вещества
A + n = N = const ,
N - способность среды обитания поддерживать популяцию.
Тогда с учетом A = N - n получится следующее уравнение эволюции популяции одного вида (логистическое уравнение Ферхюльста ) :
(3.17)
Решим уравнение (3.17) аналитически , перепишем его следующим образом
, обозначим kN - d = k1
Получим :
Воспользуемся табличным интегралом , ,полученное уравнение примет вид :
решим это уравнение , преобразуя
сократим полученное выражение на k , и перенесем переменную k1 в правую часть , получим
отсюда n(t) ®
Начальные условия :
откуда
Подставляя с в решение , получим уравнение в следующем виде
ранее мы обозначали , что , подставляем и преобразуем
сократим на k - коэффициент рождаемости , окончательно получим решение уравнения (3.17)
Итак , получено аналитическое решение логистического уравнения - это решение указывает на то , что рост популяции останавливается на некотором конечном стационарном уровне:
то есть параметр n1 указывает высоту плато насыщения , к которому стремится n(t) с течением времени .
Параметр n0 указывает начальное значение численности одного вида популяции : n0 = n(t0) . Действительно , ,то есть n1 - предельная численность вида в данной среде обитания . Иначе говоря , параметр n1 характеризует емкость среды по отношению к данной популяции . И наконец , параметр (kN - d) задает крутизну начального роста .
Отметим , что при малой исходной численности n0 (начальное число особи) начальный рост популяций будет почти экспоненциальным
Рис. 3.5. Логистическая кривая.
(эволюция популяции одного вида)
Решение уравнения (3.17) можно представить с помощью логистической кривой (рис. 3.5) . Эволюция полностью детерминирована . Популяция перестает расти , когда ресурс среды оказывается исчерпанным .
Самоорганизация - при ограниченном пищевом ресурсе. Система самоорганизованна и взрывоподобный рост популяции (рис. 3.4 Кривая 1) сменяется кривой с насыщением .
Подчеркнем , что при описании данной биологической системы используют понятийный и физико-математический аппарат из нелинейной неравновесной термодинамики.
Может случится , однако, что всегда за событиями , не управляемыми в рамках модели , в той же среде появится , первоначально в малых количествах , новые виды (характеризуемые другими экологическими параметрами k,N и d) . В связи с такой экологической флуктуацией возникает вопрос о структурной устойчивости : новые виды могут либо исчезнуть , либо вытеснить первоначальных обитателей . Пользуясь линейным анализом устойчивости , не трудно показать , что новые виды вытесняют старые только в том случае , если