Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод (стр. 14 из 16)

Початкові умови, що приймаються при розв'язанні задач про забруднення та засолювання підземних вод, мають вигляд

(3. 107)

або

(3. 108)

де c₀ - задана концентрація дифундуючої речовини в області фільтрації в момент години до настання процесу. Складність, що виникає при розв'язанні стаціонарних і нестаціонарних крайових завдань, які описують двовимірні процеси, пов'язана не тільки з виглядом рівнянь у частинних похідних й виглядом крайових умов, але головним чином, із виглядом (геометрією) області, у якій відшукується розв'язок.

Тож, у рівняннях конвективної дифузії та наведених вище крайових умовах перейдемо до нових незалежних змінних - координат області комплексного потенціалу

, які, як відомо, мають вигляд многокутника зі сторонами, паралельними прямокутній системі координат.

Нехай відома характеристична функція течії

, (3.109)

яку можна знайти, наприклад, методом конформних відображень. Тоді, виконуючи в рівнянні конвективної дифузії (3.100) заміну змінних

і отримаємо рівняння:

(3. 110)

де

(3. 111)

Після заміни змінних у крайових умовах через підстановку (3.109) отримуємо таке: межові умови (3.101), (3.102) набудуть вигляду відповідно

(3. 112)

(3. 113)

межову умову (3.103) перепишемо у вигляді

(3. 114)

межові умови (3.104), (3.105) набудуть вигляду відповідно

(3. 115)

(3. 116)

(3. 117)

(3. 118)

Межові умови (3.101)-(3.106) і відповідні до них умови (3.112)-(3.118) справджуються як для нестаціонарних, так і для стаціонарних крайових задач. Початкові умови (3.107), (3.108) перетворюються на умови

(3. 119)

(3. 120)

Перейдемо до розгляду завдань конвективної дифузії, розв'язання яких для різних схем фільтрації (мал. 3.5в) будемо шукати в областях комплексного потенціалу, які зображуються у вигляді прямокутників (мал. 3.5г-є).

При заданій концентрації розчинної речовини на межі з водоймами виникає така крайова задача: у прямокутнику ABCD знайти розв'язок

рівняння (3.110). що задовольняє межові умови

(3. 121)

(3. 122)

(3. 123)

У разі усталеної конвективної дифузії отримуємо таку крайову задачу:

(3. 124)

(3. 125)

розв'язок якої, вочевидь, не залежить від змінної

і має вигляд:

(3. 126)

Якщо враховувати механізм дифузійного відводу речовини на вході фільтраційного потоку, то отримаємо крайову задачу

(3. 127)

(3. 128)

розв'язок якої можна записати у вигляді

(3. 129)

Осереднюючи величину

, що є в правій частині рівняння (3.110), по області приведеного комплексного потенціала і замінюючи її деякою середньою величиною , розглянемо типи двох нестаціонарних крайових завдань.

3.6.2. Перший тип крайових задач

Виникає при фільтрації забруднених вод у відкриті водойми, коли у відкритих водоймах підтримується задана концентрація речовин. Ці задачі формулюються таким чином:

треба знайти розв'язок

рівняння

(3. 130)

що задовольняє межові умови вигляду (перша задача)

(3. 131)

або умови, що враховують механізм дифузійного відводу речовини від межі на вході фільтраційної течії (друга задача):

(3. 132)

і початкову умову

(3. 133)

Безпосередньою перевіркою легко переконатися, що розв'язком крайової задачі (3.130), (3.131),(3.133) та (3.130),(3.132),(3.133) будуть функції

і , які є розв'язки відповідних одновимірних крайових задач:

(3. 134)

(3. 135)

(3. 136)

(3. 137)

Якщо підставити в ці рівняння розв'язок у вигляді суми розв'язків стаціонарної і нестаціонарної задач і застосувати метод Фур'є, отримаємо розв'язки нестаціонарних задач конвективної дифузії (3.134) -(3.137), які після ділення на c₁ і запровадження безрозмірних змінних

та набувають вигляд:

(3. 138)

(3. 139)

де власні значення визначаються рівняннями

(3. 140)

(3. 141)

коефіцієнти

обчислюються за формулами

(3. 142)

(3. 143)

a функції

визначаються рівнянням

коли (3.144)

коли (3.145)

Графіки цих функцій наведено на мал. 3.7, 3.8.

рис. 3.7.

3.6.3. Другий тип крайових задач

Другий тип крайових задач конвективної дифузії забруднюючих підземні води речовин характеризується межовою умовою вигляду (3.105), яку приймається на виході фільтраційного потоку, коли має місце інтенсивний відвід вод із дренажного каналу CD. У цьому разі розв'язком стаціонарних задач буде стала, значення якої залежить від межової умови на вході фільтраційного потоку. Тому будемо розглядати нестаціонарні задачі. Осереднюючи, як і раніше, швидкість фільтрації по просторовим змінним, приходимо до таких двох крайових завдань: треба знайти розв'язок

рівняння

, (3.146)

що задовольняє межові умови

(3. 147)

а в разі враховування механізму дифузійного відводу речовини на вході фільтраційного потоку (друга крайова задача) треба знайти розв'язок

рівняння

(3. 148)