Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод (стр. 7 из 16)

(2.7)

(2.8)

Для зведення цієї задачі до стандартної задачі на власні значення й функції, введемо заміну змінних

(2.9)

Тоді

(2.10)

Підстановка цих виразів у рівняння (2.6) приводить до самоспряженого рівняння

(2.11)

з однорідними граничними умовами, що відповідають умовам

(2.12)

(2.13)

Ця задача еквівалентне задачі на власні значення

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Тоді

(2.17)

Невідомі параметри C₁ й C₂ визначаються із граничних умов.

Константа C₁ визначається як норма власної функції v(x) :

Власні значення знаходимо з умови (2.16):

Таким чином,

(2.18)

(2.19)

Перейдемо тепер до рішення задачі (2.1)-(2.5). Уведемо заміну

(2.20)

Після підстановки цих виразів у рівняння (2.1) і граничні умови одержуємо наступну крайову задачу.

(2.21)

Початкова умова

(2.22)

Граничні умови:

(2.23)

(2.24)

(2.25)

Застосуємо інтегральне перетворення по змінній x до рівняння (2.21).

Власні значення λ_x і власні функції X(x, λ_x) знайдемо як рішення відповідної задачі Штурма-Ліувілля

з граничними умовами

Позначимо

. Тоді

. (2.26)

Рівняння (2.21) здобуває вигляд:

(2.27)

Обчисливши інтеграли в цьому рівнянні, одержуємо:

Тут для простоти ми розглядаємо джерела загоряння у вигляді "точкових" джерел - площадок малого розміру

, розташованих на розглянутій поверхні випадковим образом з інтенсивностями q_m.

(2.28)

Граничні умови:

(2.29)

(2.30)

Щодо змінної y маємо наступну задачу на власні значення й функції.

Власні функції шукаємо у вигляді

З першої умови (2.30) знаходимо

Власні значення знаходимо із другої умови (2.30).

(2.31)

Або

. (2.32)

Розвязання цього рівняння дає власні значення

.

Обчислюємо норму ||Y(y)||:

Таким чином, маємо

(2.33)

(2.34)

Застосування інтегрального перетворення по змінній y до крайової задачі (2.28)-(2.30) приводить до наступної крайової задачі.

. (2.35)

Граничні умови:

. (2.36)

Позначимо

. Зважаючи на першу граничну умову (2.36) знаходимо

.

Власні значення знаходимо із другої умови (2.36):

(2.37)

Корінь цього рівняння - власні значення задачі

.

Нарешті, приходимо до наступної задачі Коші.

(2.38)

Початкова умова для цього рівняння

Рішення цього рівняння записується у вигляді

(2.39)

Таким чином, рішення крайової задачі, що описує процес нагрівання під впливом точкових джерел горіння отримано у вигляді

(2.40)

2.1. Моделювання

Визначимо динамічні характеристики повітряного турбулентного потоку в приповерхньому шарі.

Для цього необхідно знайти рішення крайової задачі.

Запишемо рівняння у вигляді (незважаючи на першому етапі на вирішення квадратичним членом).

(2.41)

Граничні умови

(2.42)

Друге рівняння запишемо у вигляді

(2.43)

Граничні умови для цього рівняння:

(2.44)

При такому формулюванні задача визначення швидкості потоку u і турбулентного руху b(z) може бути вирішена послідовно. Спочатку знаходимо рішення крайової задачі.

Задача Штурма-Ліувілля, що відповідає крайовій задачі, може бути записана в наступному виді

(2.45)

Ця задача еквівалентна задачі

(2.46)

Шукаємо розв’язання задачі у вигляді

(2.47)