Высоко оценил «Геометрические исследования» Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства. Однако в печати в оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил.
Высокая оценка гауссом открытия Лобачевского была связана с тем, что Гаусс, еще с 90-х годов XVIII в. занимавшийся теорией параллельности линий ,пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взгляды по этому вопросу Гаусс не публиковал, они сохранились только в его черновых записках и в немногих письмам к друзьям. В 1818 г. в письме к австрийскому астроному Герлингу (1788-1864) он писал: «Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову»; по-видимому, под «потревоженными осами» Гаусс имел в виду сторонников традиционных взглядов на геометрию, а также априоризма математических понятий.
Независимо от Лобачевского и гаусса к открытию неевклидовой геометрии пришел венгерский математик Янош Бояи (1802-1860), сын Ф. Бояи.
Когда Я. Бояи пришел к тем же идеям, что Лобачевский и Гаусс, отец не понял его, однако предложил напечатать краткое изложение его открытия в виде приложения к своему руководству по математике, вышедшему в 1832г. Полное название труда Я. Бояи – «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что apriori никогда решено быть не может)» и его обычно коротко называют просто «Аппендикс». Открытие Я. Бояи не было признано при его жизни; Гаусс, которому Ф. Бояи послал "Аппендикс", понял его, но никак не способствовал признанию открытия Я. Бояи.
1.3 Аксиоматика Гильберта
Хотя в современном аксиоматическом изложении геометрии Евклида не всегда пользуются аксиоматикой Гильберта, приведём её, как первую полную, независимую и непротиворечивую систему аксиом.
Все двадцать аксиом системы Гильберта подразделены на пять групп.
· Группа I содержит восемь аксиом принадлежности.
· Группа II содержит четыре аксиомы порядка.
· Группа III содержит пять аксиом конгруэнтности.
· Группа IV содержит две аксиомы непрерывности.
· Группа V содержит одну аксиому параллельности.
Переходим к формулировке аксиом по группам. Одновременно будем указывать некоторые утверждения, вытекающие из формулируемых аксиом.
I. Аксиомы принадлежности
I, 1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.
I, 2. Каковы бы ни были две точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.
I, 3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.
Указанные три аксиомы исчерпывают список аксиом принадлежности планиметрии. Следующие пять аксиом вместе с указанными тремя завершают список аксиом принадлежности стереометрии.
I, 4. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.
I, 5. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.
I, 6. Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.
I, 7. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обоим этим плоскостям.
I, 8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.
С целью использования привычной для нас геометрической лексики договоримся отождествлять между собой следующие выражения: 1) «точка А принадлежит прямой a (плоскости α)», 2) «прямая а (плоскость α) проходит через точку А» 3) «точка А лежит на прямой а (плоскости α)» 4) «точка А является точкой прямой а (плоскости α)» и тому подобные.
Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки.
Теорема 2. Две плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.
Теорема 3. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь более одной общей точки.
Теорема 4. Через прямую и не лежащую на ней точку, или через две различные прямые с общей точкой проходит одна и только одна плоскость.
Теорема 5. Каждая плоскость содержит по крайней мере три точки.
II. Аксиомы порядка
II, 1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С – различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А.
II, 2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере она точка В такая, что С лежит между А и В.
II, 3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
Сформулированные три аксиомы относятся к расположению объектов на прямой и потому называются линейными аксиомами порядка. Формулируемая ниже последняя аксиома порядка относится к расположению геометрических объектов на плоскости. Для того, чтобы сформулировать эту аксиому, введём понятие отрезка.
Пару различных точек А и В назовём отрезком и будем обозначать символом АВ или ВА. Точки прямой, определяемой А и В, лежащие между ними, будем называть внутренними точками, или просто точками отрезка АВ. Остальные точки указанной прямой будем называть внешними точками отрезка АВ.
II, 4 (Аксиома Паша). Если А, В и С – три точки, не лежащие на одной прямой, и а – некая прямая в плоскости, определяемой этими точками, не содержащая ни одной из указанных точек и проходящая через некоторую точку отрезка АВ, то эта прямая проходит также либо через некоторую точку отрезка АС, либо через некоторую точку отрезка ВС.
Подчеркнём, что из одних аксиом порядка II, 1 – 4 ещё не вытекает, что любой отрезок имеет внутренние точки. Однако привлекая ещё аксиомы принадлежности I, 1 – 3 можно доказать следующее утверждение:
Теорема 6. Каковы бы ни были две различные точки А и В на прямой, ими определяемой, существует по крайней мере одна точка С, лежащая между А и В.
Теорема 7. Среди любых трёх точек одной прямой всегда существует одна точка, лежащая между двумя другими.
Теорема 8. Если точки А, В и С не принадлежат одной прямой и если некоторая прямая а пересекает[1] какие-либо два из отрезков АВ, ВС и АС, то эта прямая не пересекает третий из указанных отрезков.
Теорема 9. Если В лежит на отрезке АС, и С – на отрезке ВD, то В и С лежат на отрезке АD.
Теорема 10. Если С лежит на отрезке АD, а В – на отрезке АС, то В лежит также на отрезке АD, а С – на отрезке BD.
Теорема 11. Между любыми двумя точками прямой существует бесконечно много других её точек.
Теорема 12. Пусть каждая из точек С и D лежит между точками А и В. Тогда если М лежит между С и D, то М лежит и между А и В.
Теорема 13. Если точки С и D лежат между точками А и В, то все точки отрезка СD принадлежат отрезку АВ (в этом случае мы будем говорить, что отрезок СD лежит внутри отрезка АВ).
Теорема 14. Если точка С лежит между точками А и В, то 1) никакая точка отрезка АС не может быть точкой отрезка CВ, 2) каждая отличная от С точка отрезка АВ принадлежит либо отрезку АС, либо отрезку СВ.
Указанные утверждения позволяют упорядочить множество точек любой прямой и выбрать на этой прямой направление.
Будем говорить, что две различные точки А и В прямой a лежат по разные стороны (по одну сторону) от третьей точки О той же прямой, если точка О лежит (не лежит) между А и В.
Из указанных выше утверждений вытекает следующая теорема.
Теорема 15. Произвольная точка О каждой прямой а разбивает все остальные точки этой прямой на два непустых класса так, что любые две точки прямой а, принадлежащие одному и тому же классу, лежат по одну сторону от О, а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от О.
Таким образом, задание на любой прямой двух различных точек О и Е определяет на этой прямой луч или полупрямую ОЕ, обладающую тем свойством, что любая её точка и точка Е лежат по одну сторону от О.
Выбрав на прямой а две различные точки О и Е, мы можем теперь определить порядок следования точек на прямой по следующему правилу: 1) если А и В – любые точки луча ОЕ, то будем говорить, что А предшествует В, если А лежит между О и В, 2) будем говорить, что точка О предшествует любой точке луча ОЕ, 3) будем говорить, что любая точка, принадлежащая той же прямой и не принадлежащая лучу ОЕ, предшествует как точке О, так и любой точке луча ОЕ, 4) если А и В – любые точки, не принадлежащие лучу ОЕ, то мы будем говорить, что А предшествует В, если В лежит между А и О.