Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия (стр. 6 из 15)

Теорема 5. Пусть α – плоскость, и а – лежащая на ней прямая, b – другая прямая, или полупрямая, или отрезок в той же плоскости α.

Тогда, если b не пересекает а, то все точки b лежат по одну сторону от а, т. е. в одной из полуплоскостей, определяемых прямой а.

Пусть А, В и С – три точки, не лежащие на одной прямой. Фигура, составленная из трёх отрезков АВ, ВС и АС называется треугольником, точки А, В и С – вершинами треугольника, а отрезки АВ, ВС и АС – сторонами треугольника.

Теорема 9. Пусть АВС – треугольник в плоскости α и а – прямая в этой плоскости, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если эта прямая пересекает сторону АВ, то она пересекает и притом только одну из двух других сторон ВС или АС.

Нельзя не заметить, что последняя приведённая теорема почти аналогична аксиоме Паша, входящей в систему Гильберта (см. страницу 9), и отличается от неё только тем, что в аксиоме не утверждается единственность второй пересекаемой стороны треугольника.

III. Аксиомы движения

В данной системе группа аксиом конгруэнтности заменена этой группой аксиом. Впрочем, третьи группы аксиом обоих систем в конечном итоге выполняют одну и ту же задачу, определяя разными способами одни и те же явления (группа аксиом конгруэнтности у Гильберта определяет отношения конгруэнтности напрямую, аксиомы движения – через свои следствия).

Итак, будем требовать, чтобы существовали такие отражения точек, прямых и плоскостей на точки, прямые и плоскости, именуемые движениями, удовлетворяющие следующим аксиомам.

III, 1. Каждое движение Н сохраняет отношение принадлежности.

То есть, если точка А принадлежит прямой а (плоскости α), то её образ при движении Н (обозначаемый НА) принадлежит образу прямой На (соответственно образу плоскости Нα).

III, 2. Каждое движение Н сохраняет отношение порядка на прямой.

Это означает, как, наверное, уже догадался читатель, что каждому из двух направлений на прямой а можно сопоставить такое направление на прямой На, что каждый раз, когда для точек X и Y прямой а имеет местоX < Y, для соответствующих им точек прямой На имеет место HX < HY.

Из этих двух аксиом следует, что каждое движение переводит полупрямую в полупрямую, полуплоскость в полуплоскость.

III, 3. Движения образуют группу.

Это значит:

а) Сопоставление Н⁰ каждому элементу х (точке, прямой, плоскости) его самого есть движение. Это движение называется тождественным.

б) Если движение Н₁ сопоставляет произвольному элементу х элемент y, а движение Н₂ сопоставляет y элемент z, то сопоставление элементу х элемента z есть движение. Оно обозначается Н₂Н₁ и называется произведением движений.

в) Для каждого движения Н существует движение Н^-1 такое, что Н^-1Н=Н⁰. Движение Н^-1 будем называть обратным.

III, 4. Если при движении Н прямая h, как целое, и её начальная точка А остаются неподвижными, то все точки полупрямой h остаются неподвижными.

III, 5. Для каждой пары точек А и В существует движение Н, которе переставляет их местами: НА=В, НВ=А

III, 6. Для каждой пары лучей h, k (полупрямых), исходящих из одной точки, существует движение Н, их переставляющее: Нh=k, Hk=h.

III, 7. Пусть α и β – любые плоскости, а и b – прямые в этих плоскостях, А и В – точки на прямых а и b. Тогда существует движение, которое переводит точку А в В, заданную полупрямую прямой а, определяемую точкой А, - в заданную полупрямую прямой b, определяемую точкой В, заданную полуплоскость плоскости α, определяемую прямой а, – в заданную полуплоскость плоскости β, определяемую прямой b.

Теорема 10.Пусть α – плоскость, и а – принадлежащая ей прямая. Тогда если движение Н переводит каждую из полуплоскостей плоскости α, определяемых прямой а, в себя и оставляет неподвижными точки прямой а, то оно является тождественным.

Действительно, тождественное движение Н⁰ обладает указанными в теореме свойствами Н, а следовательно, по аксиоме III, 7 совпадает с ним.

Определим теперь понятие конгруэнтности. Фигуру F₁ мы будем называть конгруэнтной фигуре F₂, если существует движение Н, переводящее F₁ в F₂: HF₁=F₂. Из групповых свойств движения (аксиома III, 3) вытекают следующие свойства отношения конгруэнтности:

1. Каждая фигура F конгруэнтна сама себе.

Действительно, тождественное движение Н⁰ переводит F в F.

2. Если фигура F₁ конгруэнтна F₂, то фигура F₂ конгруэнтна F₁.

В самом деле, если Н – движение, переводящее фигуру F₁ в F₂, то движение Н^-1 переводит фигуру F₂ в фигуру F₁.

3. Если фигура F₁ конгруэнтна F₂, а фигура F₂ конгруэнтна фигуре F₃, то фигура F₁ конгруэнтна F₃.

Действительно, если Н' – движение, переводящее фигуру F₁ в F₂, а Н'' – движение, переводящее фигуру F₂ в F₃, то движение Н''Н' переводит F₁ в F₃.

Впервые подобную систему предложил спустя десять после появления гильбертовой аксиоматики Фридрих Шур.

Спустя ещё десять лет немецкий математик Герман Вейль (Weyl; 9.11.1885, Эльмсхорн, Шлезвиг-Гольштейн, – 8.12.1955, Цюрих) создал векторную аксиоматику геометрии. У Вейля первоначальными являются понятия «точка» и «вектор», а прямая и отрезок определяются с их помощью. Имеются аксиомы сложения векторов (означающие, что векторы образуют коммутативную группу), аксиомы умножения вектора на действительное число, аксиомы откладывания векторов (в частности, аксиома треугольника:

), аксиомы скалярного произведения векторов и аксиома размерности (для планиметрии в ней утверждается: если даны три ненулевых вектора , и , то какой-нибудь из них выражается в виде комбинации двух других: ). При заданных точке А и ненулевом векторе прямая (А, ) определяется как множество всех точек М, для которых вектор пропорционален , то есть найдётся такое действительное число t, что . Далее определяются отрезки, углы, многоугольники, окружность и другие фигуры: например, расстояние между А и В – как квадратный корень из скалярного квадрата вектора , то есть . Теорема Пифагора легко доказывается с помощью скалярного произведения, а аксиома параллельности – с помощью векторного определения прямой и аксиомы разномерности.

В заключение отметим, что гильбертова аксиоматика полностью уточнила не вполне совершенную систему аксиом, созданную Евклидом более двух тысяч лет тому назад. Аксиоматика Фридриха Шура и аксиоматика Германа Вейля связали геометрию с понятиями группы преобразований и векторного пространства, которые играют важнейшую роль во многих разделах современной математики, физики, экономики, химии, биологии и других областей знания.

Глава II. Неевклидовы геометрии в системе Вейля

2.1 Элементы сферической геометрии

В этом пункте рассмотрены элементы так называемой сферической геометрии - геометрии сферы евклидова пространства. Кратчайшими (геодезическими) или прямыми линиями на сфере являются большие окружности, т. е. такие окружности, плоскости которых проходят через центр данной сферы.

Так как любые два больших круга пересекаются, то в сферической геометрии не осуществляется ни постулат Евклида, ни аксиома параллельности Лобачевского. В этой геометрии не выполняется также ряд других фактов абсолютной геометрии.

Например, прямые в сферической геометрии замкнуты и на них невозможно установить понятие точки, лежащей «между» для трех точек, инцидентных прямой, так как каждую из этих точек на окружности можно считать точкой, лежащей между двумя другими. Две точки на большом круге определяют два отрезка и прямые имеют конечную длину. Таким образом, аксиомы порядка в сферической геометрии должны описывать свойства циклического расположения точек на прямой. И все же, несмотря на указанные различия в сферической геометрии имеется много свойств, аналогичных соответствующим свойствам в евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. Эти геометрии, включая и геометрию достаточно малых кусков сферы, в основных вопросах не противопоставляются между собою, а копируют друг друга.