Теория вероятности и математическая статистика 4 (стр. 12 из 18)
.Поскольку
, то критерий при известных генеральных дисперсиях будет равен: 
При выполнении гипотезы 
критерий
при больших объемах выборок или при малых, при условии, что генеральные совокупности 
и 
подчиняются нормальному закону, так же будет подчиняться нормальному закону 
с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Поэтому, например, при конкурирующей гипотезе 
, выбирают двухстороннюю критическую область. Критическое значение критерия 
выбираем из условия: 
.Если фактически наблюдаемое значение критерия
по абсолютному значению больше критического , определенного на уровне значимости 
, т.е. 
, то гипотеза отвергается. Если
, то делаем вывод, что нулевая гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.При неизвестных генеральных дисперсиях
и 
, но они равны, т.е. 
, то в качестве неизвестной величины 
можно взять ее оценку – «исправленную» выборочную дисперсию: 
или 
.Однако лучшей оценкой дисперсии разности независимых выборочных средних
будет дисперсия смешанной совокупности 
: 
.В этом случае критерий вычисляем по выражению:
.Доказано, что в случае критерий
имеет распределение Стьюдента с 
степенями свободы. Поэтому критическое значение критерия находится в зависимости от типа критической области по функции 
распределения Стьюдента, т.е. 
. При этом сохраняется тоже правило принятия гипотезы: гипотеза отвергается на уровне значимости
, если и принимается, если , т.е. с надежностью 
можно считать расхождение средних значений незначимым.В случае невозможности наложения допущения о равенстве генеральных дисперсий задача не имеет точного решения (пока) – это проблема Беренса-Фишера.
Рассмотренные критерии можно применять для исключения грубых ошибок при проведении наблюдений.
Например, если в ряде наблюдений
, 
- резко отличается, то справедливость гипотезы : 
о принадлежности к остальным наблюдениям проверяем по критерию: 
,где
- средняя арифметическая, 
-«исправленное» среднее квадратическое отклонении ряда наблюдений 
. При справедливости критерий должен подчиняться так же закону распределения Стьюдента со степенью свободы 
. При конкурирующей гипотезе 
или 
, т.е. является ли резко выделяющееся значение меньше или больше остальных наблюдений находится по функции распределения Стьюдента при условии, что 
. Если , то гипотеза принимается. При условии , гипотеза отвергается.Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей.
Проверка гипотезы , о том, что дисперсии двух нормально распределенных генеральных совокупностей
, сводится к сравнению выборочных «исправленных» дисперсий 
и 
, вычисляемые по двум независимым выборкам объемом 
и 
. В качестве критерия принимается отношение выборочных «исправленных» дисперсий и : 
. Доказано, что при справедливости гипотезы критерий
представляет собой случайную величину с распределением Фишера-Снедекора с степенями свободы 
и 
.