Теория вероятности и математическая статистика 4 (стр. 6 из 18)

в каждом из которых событие может появиться с вероятностью

. Тогда для любых и

справедливо соотношение:

Из предельного равенства теоремы следует формула:

число появлений событий в испытаниях.

Отсюда вытекают следующие соотношения:

2Ф*

2Ф*

В отличии от теорем Бернулли и Пуассона последние две формулы более точную оценку

вероятности отклонений частоты появления событий от его математического ожидания и

частости события от вероятности появления события в каждом испытании.

Двумерные случайные величины.

Совокупность случайных величин

образуют мерную случайную

величину

. Если экономический процесс описывается при помощи двух

случайных величин

и , определяется двумерная случайная величина или

Функция распределения системы двух случайных величин

, рассматриваемой как

функция переменных

, называется вероятность появления события

:

.

Используя функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной точки в

бесконечную полуполосу

или и прямоугольник

Дискретной называют двухмерную величину, составляющие которой дискретны.

Законом распределения двумерной дискретной случайной величины называется множество

всевозможных значений

дискретных двумерных случайных величин и

соответствующих им вероятностей

При этом

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Функция

, равная пределу отношения вероятности попадания двумерной случайной

величины

в прямоугольник со сторонами и к площади этого прямоугольника,

когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю, называется плотностью распределения

вероятностей:

.

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле:

Вероятность попадания случайной точки

в область определяется равенством:

Вероятность того, что случайная величина

приняла значение при условии, что

случайная величина

приняла фиксированное значение, вычисляется по формуле:

Начальным моментом порядка

системы называется математическое

ожидание произведений

и , т.е. .Если и -дискретные

случайные величины, то

Если

и - непрерывные случайные величины, то

Центральным моментом порядка

системы называется математическое

ожидание произведений

и , т.е.

Если составляющие величины являются дискретными, то

Если составляющие величины являются непрерывными, то

где

- плотность распределения системы .

Условным математическим ожиданием

при ( при ) называется

выражение вида:

-для дискретной случайной величины

- для непрерывной случайной величины .

Корреляционным моментом независимых случайных величин

и , входящих в

двумерную случайную величину

, называют математическое ожидание произведений

отклонений этих величин:

Корреляционный момент двух независимых случайных величин

и , входящих в

двумерную случайную величину

, равен нулю.

Коэффициентом корреляции

случайных величин

и , входящих в

двумерную случайную величину

, называют отношение корреляционного момента к