Теория вероятности и математическая статистика 4 (стр. 14 из 18)

Методика применения критерия Колмогорова следующая:

1. Строятся эмпирическая функция распределения
   и предполагаемая теоретическая функция распределения
   .
2. Определяется мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением
   и вычисляется величина :

При заданном уровне значимости
, сравнивается вычисленное значение
с критическим
. Если
, то гипотеза
отвергается. Если
, то считают, что гипотеза
не противоречит опытным данным.

Следует отметить, что на практике часто не известны параметры законов распределения генеральных совокупностей. Использование в этом случае критерий Колмогорова, заменяя неизвестные характеристики оценками, дает завышенное значение вероятности

и, соответственно, критическое значение , что повышает вероятность ошибки 2-ого рода. Поэтому в этих случаях критерий Колмогорова можно использовать как предварительную оценку:

1. Если гипотеза не удовлетворяет условиям критерия Колмогорова, то ее можно отбросить;
2. Если же гипотеза по критерию Колмогорова не противоречит опытным данным, то необходима дополнительная проверка другими критериями, например,
   - Пирсона.

Лекция №14. Основные понятия дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ – статистический метод оценки влияния различных факторов на результаты эксперимента. Суть анализа заключается в разложении общей вариации случайной величины на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействие. Факторами обычно называют внешние условия, влияющие на эксперимент.

По числу факторов, влияние которых исследуется, различают:

· Однофакторный дисперсионный анализ;

· Двухфакторный дисперсионный анализ;

· Многофакторный дисперсионный анализ.

Для проведения дисперсионного анализа необходимо соблюдение следующих условий: результаты наблюдений должны быть независимыми случайными величинами с нормальным законом распределения с одинаковой дисперсией.

Однофакторный дисперсионный анализ

Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:

,

Где

-значение исследуемой переменной, полученной на -м уровне фактора ( ) с -м порядковым номером ( );

- общая средняя;

- эффект, обусловленный влиянием -го уровня фактора, т.е. вариация переменной между отдельными уровнями фактора;

-случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов, т.е. вариация переменной внутри отдельного уровня фактора.

Под уровнем фактора понимается некоторая его мера или состояние, например номер партии детали, количество вносимых удобрений и т.п.

Проверим существенность влияния № партий изделий на их качество. Пусть имеется

партий изделий. Из каждой партии отобрано соответственно изделий (положим, что ). Значения показателей качества этих изделий представим в виде матрицы (или таблицы):

Если полагать, что элементы строк матрицы наблюдений – это численные значения (реализации) случайных величин

, выражающих качество изделий и имеющих нормальный закон распределения с математическим ожиданием соответственно и одинаковыми дисперсиями , то данная задача сводится к проверке нулевой гипотезы : .

Предположим, что для каждой

-ой партии( -го уровня фактора) из изделий имеем средний показатель качества , равный сумме общего среднего и ее вариации , обусловленной -ым уровнем фактора:

,

называемая группой средней для

-го уровня фактора.

Очевидно, что оценкой

является средняя арифметическая из изделий -ой партии ( -го уровня фактора):

.

Оценкой общего среднего

является средняя арифметическая всей совокупности показателей качества:

.

Рассмотрим сумму квадратов отклонений

от общей средней в виде :

Или

:

где

- сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, или межгрупповая (факторная) сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений наблюдений от групповых средних, или внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений.

В разложении общей суммы квадратов отклонений

заключенная основная идея дисперсионного анализа: общая вариация показателя качества, измеренная суммой , складывается из двух компонент - и , характеризующих изменчивость этого показателя между партиями ( ) под воздействием изучаемого фактора и изменчивость «внутри» партий ( ) под воздействием всех других неучтенных факторов. В дисперсионном анализе изменчивость показателя оценивается не по суммам квадратов отклонений, а по выборочным дисперсиям , которые являются несмещенными оценками соответствующих дисперсий генеральных совокупностей: