Теория вероятности и математическая статистика 4 (стр. 4 из 18)
3.2.Непрерывные случайны величины.
Случайная величина
называется непрерывной, если существует такая неотрицательная,интегрируемая по Риману функция
, называемая плотностью распределения вероятностей,что при всех
Множество значений непрерывнойслучайной величины
- некоторый числовой интервал.Плотностью распределения вероятностей
непрерывной случайной величиныХназывают предел, если он существует, отношения вероятности попадания случайной величины
Х на отрезок
, примыкающей к точке 
, к длине этого отрезка, когдапоследний стремится к 0, т.е.
.Свойства плотности распределения вероятностей:
- непрерывная или кусочно непрерывна функция;
Функция распределения случайной величины
– это функция 
действительнойпеременной
, определяющая вероятность того, что случайная величина принимает значениеменьше некоторого фиксированного числа
, т.е. 
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины :
; 
; 
Модой непрерывной случайной величины
называется действительное число 
,определяемое точка максимума плотности распределения вероятностей
.Медианой непрерывной случайной величины
называется действительное число 
,Удовлетворяющее условию
, т.е. корень уравнения 
Начальный момент
го порядка: 
Центральный момент
го порядка: 
Коэффициент асимметрии или «скошенности» распределения
Коэффициент эксцесса или островершинности распределения
Случайная величина
называется центрированной, если 
Если же дляслучайной величины
то она называется центрированной инормированной (стандартизованной) случайной величиной.
3.3. Законы распределения непрерывной случайной величины
Равномерное распределение: Пусть плотность вероятности равна нулю всюду, кроме отрезка
, на котором все значения случайной величины Х одинаково возможны. Выражение плотности распределения вероятностей имеет следующий вид: 
Функция равномерного распределения задается формулой:
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно равны:
Показательное распределение. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины
, которое описывается функцией плотности вероятности: 
где
постоянная и называется параметром экспоненциального распределения.Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, имеет вид:
Математическое ожидание
. Дисперсия 
, среднее квадратическое отклонение 
.Лекция №6. Нормальное распределение.
Распределение с непрерывной случайной величины называется нормальным, если плотность распределения ее описывается формулой:
где
- параметры распределения.Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону:
Полученный интеграл нельзя выразить через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию:
,называемую нормальной функцией распределения (функцией Лапласа). Эта функция неубывающая, непрерывная слева и
Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны 
Центральные моменты случайной величины с нормальным законом распределения вычисляются через следующие рекуррентные соотношения:
поскольку
то нечетные центральные моменты равны нулю, а четные центральные моменты равны: 
Коэффициенты ассиметрии и эксцесса для нормального закона распределения равны нулю:
так как они характеризуют скошенность и крутизну исследуемового закона распределения по сравнению с нормальным.
Вероятность попадания случайной величины
, подчиненной нормальному закону распределения, на заданный интервал 
, определяется следующим образом: 
или
функция Лапласа.Вероятность заданного отклонения вычисляется по формуле:
или 
Интервалом практически возможных значений случайной величины
, распределенной по нормальному закону , будет интервал 
Лекция 7-8. Предельные теоремы и законы больших чисел
Все законы вероятности получены из практики, то есть из наблюдений за массовыми случайными явлениями. Массовые случайные явления проявляются в статистической совокупности.