Из-за передачи сообщений <vis> в большинстве случаев usedp[fatherp] = true, даже если p еще не послал маркер своему родителю. Поэтому в алгоритме должно быть явно запрограммировано, что только инициатор может принимать решения; а не-инициатор p, для которого usedp[q] = true для всех соседей q, передает маркер своему родителю.
Теорема 6.34 Алгоритм Авербаха (Алгоритм 6.15) вычисляет дерево поиска в глубину за 4N-2 единиц времени и использует 4|E| сообщений.
Доказательство. По существу, маркер передается по тем же самым каналам, как и в Алгоритме 6.14, за исключением того, что пропускается передача по листовым каналам. Т.к. передача по листовым каналам не влияет на конечное значение fatherp для любого процесса p, то в результате всегда получается дерево, которое может получиться и в Алгоритме 6.14.
Маркер последовательно проходит дважды через каждый из N-1 каналов дерева, на что тратится 2N-2 единиц времени. В каждой вершине маркер простаивает перед тем, как быть переданным, не более одного раза из-за обмена сообщениями <vis>/<ack>, что приводит к задержке не более чем на 2 единицы времени в каждой вершине.
Каждое листовое ребро передает два сообщения <vis> и два сообщения <ack>. Каждое ребро в дереве передает два сообщения <tok>, одно <vis> (посылаемое от родителя потомку), и одно <ack> (от потомка родителю). Следовательно, передается 4|E| сообщений.
var usedp[q] : boolean init false для всех q Î Neighp ;
(* Признак того, отправил ли p сообщение q *)
fatherp : process init udef ;
Для инициатора (выполняется один раз):
begin fatherp := p ; выбор q Î Neighp ;
forall r Î Neighpdo send <vis> to r ;
forall r Î Neighpdo receive <ack> from r ;
usedp[q] := true ; send <tok> to q ;
end
Для каждого процесса при получении <tok> от q0:
begin if fatherp = udef then
begin fatherp := q0 ;
forall r Î Neighp\ {fatherp} do send <vis> to r ;
forall r Î Neighp\ {fatherp} do receive <ack> from r ;
end ;
if p - инициатор and "q Î Neighp : usedp[q]
then decide
else if $q Î Neighp : (q ¹ fatherp & Øusedp[q])
then begin if fatherp ¹ q0 & Øusedp[q0]
then q := q0
else выбор q Î Neighp \ {fatherp}
с Øusedp[q] ;
usedp[q] := true ; send <tok> to q
end
else begin usedp[fatherp] := true ;
send <tok> to fatherp
end
end
Для каждого процесса при получении <vis> от q0:
begin usedp[q0] := true ; send <ack> to q0end
Алгоритм 6.15 Алгоритм поиска в глубину Авербаха.
Передачу сообщения <vis> соседу, которому процесс передает маркер, можно опустить. Это усовершенствование (не выполняемое в Алгоритме 6.15) сберегает по два сообщения для каждого ребра дерева и, следовательно, уменьшает сложность сообщений на 2N-2 сообщения.
Решение Сайдона. Алгоритм Сайдона [Cidon; Cid88] улучшает временную сложность алгоритма Авербаха, не посылая сообщения <ack>. В модификации Сайдона маркер передается немедленно, т.е. без задержки на 2 единицы времени, внесенной в алгоритм Авербаха ожиданием подтверждения. Этот же алгоритм был предложен Лакшмананом и др. [Lakshmanan; LMT87]. В алгоритме Сайдона может возникнуть следующая ситуация. Процесс p получил маркер и послал сообщение <vis> своему соседу r. Маркер позже попадает в r, но в момент, когда r получает маркер, сообщение <vis> процесса p еще не достигло r. В этом случае r может передать маркер p, фактически посылая его через листовое ребро. (Заметим, что сообщения <ack> в алгоритме Авербаха предотвращают возникновение такой ситуации.)
Чтобы обойти эту ситуацию процесс p запоминает (в переменной mrsp), какому соседу он переслал маркер в последний раз. Когда маркер проходит только по ребрам дерева, p получает его в следующий раз от того же соседа mrsp. В ситуации, описанной выше, p получает сообщение <tok> от другого соседа, а именно, от r; в этом случае маркер игнорируется, но p помечает ребро rp, как пройденное, как если бы от r было получено сообщение <vis>. Процесс r получает сообщение <vis> от p после пересылки маркера p, т.е. r получает сообщение <vis> от соседа mrsr. В этом случае r действует так, как если бы он еще не послал маркер p; r выбирает следующего соседа и передает маркер; см. Алгоритм 6.16/6.17.
Теорема 6.35 Алгоритм Сайдона (Алгоритм 6.16/6.17) вычисляет DFS-дерево за 2N-2 единиц времени, используя 4|E| сообщений.
Доказательство. Маршрут маркера подобен маршруту в Алгоритме 6.14. Прохождение по листовым ребрам либо пропускается (как в Алгоритме 6.15), либо в ответ на маркер через листовое ребро посылается сообщение <vis>. В последнем случае, процесс, получая сообщение <vis>, продолжает передавать маркер, как если бы маркер был возвращен через листовое ребро немедленно.
Время между двумя успешными передачами маркера по дереву ограничено одной единицей времени. Если маркер послали по ребру дерева процессу p в момент времени t, то в момент t все сообщения <vis> ранее посещенных соседей q процесса p были посланы, и, следовательно, эти сообщения прибудут не позднее момента времени t+1. Итак, хотя p мог несколько раз послать маркер по листовым ребрам до t+1, не позднее t+1 p восстановился после всех этих ошибок и передал маркер по ребру, принадлежащему дереву. Т.к. должны быть пройдены 2N-2 ребра дерева, алгоритм завершается за 2N-2 единиц времени.
Через каждый канал передается не более двух сообщений <vis> и двух <tok>, откуда граница сложности сообщений равна 4|E|.
var usedp[q] : boolean init false для всех q Î Neighp ;
fatherp : process init udef ;
mrsp : process init udef ;
Для инициатора (выполняется один раз):
begin fatherp := p ; выбор q Î Neighp ;
forall r Î Neighpdo send <vis> to r ;
usedp[q] := true ; mrsp := q ; send <tok> to q ;
end
Для каждого процесса при получении <vis> от q0:
begin usedp[q0] := true ;
if q0 = mrspthen (* интерпретировать, как <tok> *)
передать сообщение <tok> как при получении <tok>
end
Алгоритм 6.16 Алгоритм поиска в глубину Сайдона (Часть 1).
Для каждого процесса при получении <tok> от q0:
begin if mrsp ¹ udef and mrsp ¹ q0
(* это листовое ребро, интерпретируем как сообщение <vis>*)
then usedp[q0] := true
else (* действовать, как в предыдущем алгоритме *)
begin if fatherp = udef then
begin fatherp := q0 ;
forall r Î Neighp\ {fatherp}
do send <vis> to r ;
end ;
if p - инициатор and "q Î Neighp : usedp[q]
then decide
else if $q Î Neighp : (q ¹ fatherp & Øusedp[q])
then begin if fatherp ¹ q0 & Øusedp[q0]
then q := q0
else выбор q Î Neighp\ {fatherp}
с Øusedp[q] ;
usedp[q] := true ; mrsp := q ;
send <tok> to q
end
else begin usedp[fatherp] := true ;
send <tok> to fatherp
end
end
end
Алгоритм 6.17 Алгоритм поиска в глубину Сайдона (Часть 2).
Во многих случаях этот алгоритм будет пересылать меньше сообщений, чем алгоритм Авербаха. Оценка количества сообщений в алгоритме Сайдона предполагает наихудший случай, а именно, когда маркер пересылается через каждое листовое ребро в обоих направлениях. Можно ожидать, что сообщения <vis> помогут избежать многих нежелательных пересылок, тогда через каждый канал будет передано только два или три сообщения.
Сайдон замечает, что хотя алгоритм может передать маркер в уже посещенную вершину, он обладает лучшей временной сложностью (и сложностью сообщений), чем Алгоритм 6.15, который предотвращает такие нежелательные передачи. Это означает, что на восстановление после ненужных действий может быть затрачено меньше времени и сообщений, чем на их предотвращение. Сайдон оставляет открытым вопрос о том, существует ли DFS-алгоритм, который достигает сложности сообщений классического алгоритма, т.е. 2|E|, и который затрачивает O(N) единиц времени.
6.4.3 Поиск в глубину со знанием соседей
Если процессам известны идентификаторы их соседей, проход листовых ребер можно предотвратить, включив в маркер список посещенных процессов. Процесс p, получая маркер с включенным в него списком L, не передает маркер процессам из L. Переменная usedp[q] не нужна, т.к. если p ранее передал маркер q, то q Î L; см. Алгоритм 6.18.
Теорема 6.36 DFS-алгоритм со знанием соседей является алгоритмом обхода и вычисляет дерево поиска в глубину, используя 2N-2 сообщений за 2N-2 единиц времени.
У этого алгоритма высокая битовая сложность; если w - количество бит, необходимых для представления одного идентификатора, список L может занять до Nw бит; см. Упражнение 6.14.
var fatherp : process init udef ;
Для инициатора (выполняется один раз):
begin fatherp := p ; выбор q Î Neighp ;
send <tlist, {p}> to q
end
Для каждого процесса при получении <tlist, L> от q0:
begin if fatherp = udef then fatherp := q0 ;
if $q Î Neighp \ L
then begin выбор q Î Neighp \ L ;
send < tlist, LÈ{p} > to q
end
else if p - инициатор
then decide
else send < tlist, LÈ{p} > to fatherp
end
Алгоритм 6.18 Алгоритм поиска в глубину со знанием соседей.