Некоторые аспекты моделирования конкурентного равновесия (стр. 5 из 9)
Таким образом, очерчены конкретные виды множеств в правых частях соотношений (2.3) и (2.4), определяющих функции совокупных спроса и предложения:
(3.3) 
(3.4)Модель (2.5), в которой функции и определены в виде (3.3) и (3.4), называется моделью Эрроу-Дебре, если выполнены следующие требования.
У‑1. Множество
компактно в 
и содержит нулевой вектор (j=0,…, m).У‑2. Множество
выпукло в .У‑3. Множество
замкнуто и выпукло в и таково, что из 
, 
для некоторого r, следует 
для всех k=1,…, n(i=1,…, l).У‑4. Функция полезности
непрерывно дифференцируема на и строго вогнута (i=1,…, l).У‑5. Функция
обладает свойством ненасыщаемости (i=1,…, l).У‑6. Существует
, для которого 
(i=1,…, l).Условие У‑1, с учетом непрерывности функции прибыли, обеспечивает существование решения задачи (3.2). Условие У‑2 допускает эффективность использования «смешанных» планов производства на уровне всего производственного сектора. Условия У‑3 и У‑4 имеют технический характер. Условие У‑6 требует наличия у каждого потребителя «существенного» начального запаса всех товаров. Оно считается достаточно жестким, но без него (или незначительного его ослабления) нельзя доказать существование конкурентного равновесия в модели Эрроу-Дебре (см. замечание после доказательства теоремы 3.1).
Прежде чем приступить к доказательству теоремы, разъясню несколько терминов и сформулирую вспомогательные утверждения.
Пусть
, а F – множественнозначное отображение, которое переводит каждую точку 
в некоторое подмножество множества X ( 
, 
).Отображение F называется полунепрерывным сверху, если из соотношений
, где 
, и 
, где 
, следует 
. Другими словами, для каждого открытого множества U, содержащего множество 
, можно найти такое число 
, что 
, как только 
(где 
– расстояние между точками 
и 
).Непрерывное отображение всегда полунепрерывно сверху, а обратное неверно. Чтобы полунепрерывное сверху отображение было непрерывным, нужно, чтобы оно было одновременно полунепрерывным снизу, т.е. для каждого
при существовали такие , что 
.Отображение F называется ограниченным, если для любого
множество F(x) является ограниченным, как подмножество евклидова пространства .Лемма 3.1. Пусть P, X – выпуклые и компактные подмножества пространства
, 
– такое множественнозначное отображение, что для любого 
множество B(p) есть непустой выпуклый компакт. Тогда множественнозначное отображение 
, такое, что 
полунепрерывно сверху, если функция
непрерывна и вогнута.Пусть
, 
. Линейное уравнение 
называется гиперплоскостью в (или (n‑1) – мерным линейным многообразием). Это есть обобщение понятия обычной плоскости в 
. Гиперплоскость 
делит все пространство на две части: 
и 
.Пусть
. Говорят, что гиперплоскость разделяет X и Y, если для всех 
, а для всех 
. Например, если X и Y – выпуклые множества, не имеющие общих точек, то, очевидно, между ними существует разделяющая гиперплоскость. – выпуклое множество, не имеющее общих точек с неотрицательным ортантом 
. Тогда найдется вектор 
, у которого хотя бы одна компонента строго положительна и 
для всех .Доказательство этого утверждения предоставлено на рисунке.
Рис. 5. Иллюстрация к лемме 3.2.
Точка
называется неподвижной точкой множественнозначного отображения F, определенного на X, если 
.Приведем без доказательства теорему существования неподвижной точки.
– компактное, выпуклое множество, а F – полунепрерывное сверху отображение, которое каждой точке ставит в соответствие замкнутое, выпуклое подмножество . Тогда отображение F имеет неподвижную точку в X.Доказательство существования равновесия в модели Эрроу-Дебре будет проведено с помощью леммы Гейла, которую сформулируем в терминах элементов рынка. Сначала пронормируем цены, поделив все pk на одну и ту же величину
. Тогда пространство цен P превращается в стандартный симплекс, лежащий в неотрицательном ортанте :