Некоторые аспекты моделирования конкурентного равновесия (стр. 6 из 9)
Пронормировав таким образом цены переходим к другому масштабу цен. В данном случае преобразование пространства цен в стандартный симплекс преследует чисто технические цели.
Лемма (Гейла). Пусть S – ограниченное, полунепрерывное сверху множественнозначное отображение симплекса P в
, удовлетворяющее условиям:a) S(p) есть непустое выпуклое множество для всех
;b) для всех
. Тогда существуют такие и , что 
.Условие b) означает, что для каждого
множество 
не имеет общих точек с неположительным ортантом 
. Действительно, для любой точки 
и любого 
(рис. 6). При этих условиях лемма Гейла утверждает о существовании такого , что 
не пусто.
Рис. 6: Иллюстрация к лемме Гейла
Доказательство проведем от противного: пусть лемма не верна. Это означает, что ни для одного вектора
множество S(p) не имеет общих точек с 
. Покажем, что в этом случае существует такое сколь угодно малое положительное число 
(не зависящее от p и z), что семейство 
выпуклых множеств 
также не касается неотрицательного ортанта (рис. 7). 
Рис. 7. Иллюстрация к доказательству леммы
Действительно, если бы это было так, то существовала бы последовательность
и точки 
, 
, для которых 
при 
(сходящаяся последовательность 
найдется, так как 
компактны и лежат в ограниченной области пространства 
). Тогда из полунепрерывности сверху отображения S следуют соотношения 
и 
, что противоречит нашему предположению. Следовательно, семейство не пересекается с неотрицательным ортантом.Тогда для каждого множества
из этого семейства и положительного ортанта существует разделяющая гиперплоскость 
, такая, что для любого 
.Построим множественнозначное отображение
, где множество 
состоит из всех тех векторов симплекса P, которые представляют гиперплоскости, разделяющие положительный ортант и множество . Так как это семейство не касается с положительным ортантом, множество непусто. Отображение 
полунепрерывно сверху, как и отображение W (полунепрерывность последнего вытекает из его вида и аналогичного свойства S). Благодаря этому свойству отображения , множество выпукло и замкнуто, как и симплекс 
. Следовательно, отображение удовлетворяет всем условиям теоремы Какутани и потому имеет в P неподвижную точку 
. Но, согласно условию b) леммы, для этой точки справедливо неравенство 
при 
. Тогда 
для 
. Последнее противоречит неподвижности точки p0 в 
. Следовательно, наше первоначальное предположение приводит к противоречию, что и доказывает лемму.Теперь перейдем к основному вопросу.
Теорема 3.1. В модели Эрроу-Дебре существует конкурентное равновесие.
Доказательство. Обозначим для каждого
(3.5)Как следует из условий У‑1 и У‑5, множество
есть непустое, компактное и выпуклое множество. Обозначим через 
отображение 
. Из непрерывности (линейности) функций 
, j=1,…, m, и из леммы 3.1. следует, что есть ограниченное, полунепрерывное сверху отображение.Исходя из того, что
, j=1,…, m, задача (3.2) должна решаться при ограничении 
(3.6)где
– оптимальное решение задачи (3.1). Известно, что для оптимального решения задачи (3.2) в (3.6) должно иметь место строгое равенство: 
(3.7)Если это не так, то в силу условия У‑5 существует
, для которого 
, а по условию У‑4 можно найти такое 
, где 
, что 
, причем 
все еще удовлетворяет ограничениям (3.6). Но это противоречит определению 
как точки максимума. Таким образом, равенство (3.7) действительно имеет место.Так как по условию У‑1
, то по определению максимума 
. Отсюда и из условий У‑1 – У‑6 следует, что множество 
оптимальных решений задачи (3.2) при ограничениях (3.6) есть непустой выпуклый компакт. Поэтому множество 
также будет непустым выпуклым компактом. Из условий У‑4 – У‑6 и леммы 3.1 следует, что 
есть полунепрерывное сверху множественнозначное отображение.