Некоторые аспекты моделирования конкурентного равновесия (стр. 8 из 9)

(4.4)

Так как это равенство понимается покомпонентно (

, k=1,…, n, где – функция избыточного спроса для товара k), то условие (4.3) становится следствием равенства (4.4). Поэтому в случае положительных цен конкурентное равновесие определяется одним условием (4.4).

Функция F обычно предполагается положительно однородной нулевой степени, т.е. для любых

и постоянного числа . Это свойство означает, что на функцию избыточного спроса изменение масштаба цен не влияет, а существенны лишь относительные цены.

Рассмотрение функции избыточного спроса связано с ее применением в модели регулирования цен. В основе построения искомой формулы итеративного процесса вычисления равновесных цен лежит идея о том, что скорость изменения цен пропорциональна изменению величины избыточного спроса. Действительно, возрастание (убывание) функции избыточного спроса во времени равносильно более быстрому (медленному) росту спроса по сравнению с предложением (см. (4.1)), а это, согласно закона спроса, сопровождается увеличением (уменьшением) цен товаров. Сказанное математически можно отразить формулой

или в координатной форме

, k=0,1,…, n

где

– коэффициент пропорциональности, – функция избыточного спроса для товара k. Здесь предположим, ради простоты, что пропорциональность изменения цены и избыточного спроса по всем товарам одинакова (и равна числу ).

Из последнего уравнения по определению производной получаем:

Отсюда для достаточно малых

можно принять приблизительно

Принимая величину

как «следующий» за t момент времени, для дискретного случая приходим к следующему закону изменения цен:

, k=0,1,…, n

или в векторной форме:

, t=0,1,… (4.5)

Это есть рекуррентное уравнение, когда последующее (по времени) значение цены вычисляется с помощью предыдущего значения. Для его последовательного решения нужно иметь «начальное» условие. Им является значение цены

в «начальный» момент времени t=0, которое считается известным.

Для того, чтобы в уравнении (4.5) было учтено условие положительности цен, можно написать

, t=0,1,… (4.6)

Таким образом, динамика процесса регулирования цен описана.

Процесс регулирования можно проводить в нормированных ценах или без нормирования цен. В первом случае вектор

нормируется с помощью какого-то выделенного товара (например, нулевого), и получается новый вектор , компоненты которого , k=0,1,…, n, являются относительными ценами. В ненормированном процессе все товары являются равноправными. С математической точки зрения ненормированный процесс усложняется множественностью равновесных векторов цен, так как все точки луча ( ) будут равновесными векторами цен.

Устойчивость конкурентного равновесия, т.е. сходимость итеративного процесса (4.6) к равновесной цене, можно изучать на двух уровнях – на уровне локальной устойчивости и на уровне глобальной устойчивости. Равновесие называется локально устойчивым, если итеративный процесс сходится при начальной точке

, достаточно близкой к . Если устойчивость имеет место независимо от местонахождения начальной точки , то равновесие глобально устойчиво.

Одним из условий сходимости процесса (4.6) является так называемая строгая валовая зависимость. Говорят, что для ненормированного процесса регулирования цен имеет место строгая валовая зависимость, если для каждого k функция избыточного спроса

есть строго возрастающая функция цены . Экономический смысл этого условия состоит в том, что при повышении цены k‑го товара и постоянстве других цен можно ожидать увеличения спроса на остальные (взаимозаменимые) товары.

Приводимая ниже теорема сходимости для уравнения (4.6) предполагает ненормированный процесс регулирования и содержит критерий глобальной устойчивости.

Теорема 4.1. Пусть

– строго положительный равновесный вектор в модели Эрроу-Дебре. Пусть функции избыточного спроса , k=0,1,…, n, обладают свойством строгой валовой зависимости. Тогда существует такое положительное число , что для всех система цен , удовлетворяющая уравнению (4.6), сходится к равновесному вектору цен.

Рассмотренные задачи

1) Производственная функция описывается уравнением

, где L – объем используемого труда. Функция спроса потребителей в экономике равна

. Какой объем продукции будет произведен в равновесии, какой объем труда будет использован?

Решение: Перепишем функцию спроса в виде

. В ситуации равновесия спрос равен предложению: . Отсюда и , . Исключая первый случай, окончательно получаем , тогда .

2) Спрос и предложение некоторого товара заданы соответственно уравнениями

, . Государство установило налог с продажи на единицу товара в размере 1,5 ден. ед. Найдите, что потеряют при этом покупатели, а что – продавцы данного товара.

Решение: До введения налога равновесие определяется условием

, откуда - равновесная цена, – равновесный объем продаж стоимостью 900. Налог с продажи, уплачиваемый покупателями, приводит к тому, что цена для них увеличивается на 1,5 и условие равновесия записывается как , откуда и . Общий объем налогового сбора за 250 ед. товаров составит 375 ден. ед. В этой ситуации покупатели потратят ден. ед., сэкономив тем самым 25 ден. ед. Однако, они недополучат 50 ед. товара, за который готовы были заплатить ден. ед. Тогда общие потери покупателей составят ден. ед. Общие потери продавцов равны 250 ден. ед. (потери от продажи 250 ед. товара по цене на 1 ден. ед. ниже).