2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение векторного пространства( над действительными числами).
Примеры векторных пространств. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Размерность и базис векторного пространства. Координаты вектора в заданном базисе. Изменение координат вектора при переходе к новому базису. Подпространство векторного пространства.
Система линейных однородных уравнений. Ранг матрицы. Подпространство решений линейной однородной системы, его размерность и базис.
Система линейных неоднородных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Структура множества решений системы. Принцип суперпозиции решений.
3. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
Евклидово пространство. Свойства скалярного произведения. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Гильберта-Шмидта. Определитель Грама. Унитарное пространство.
4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Линейные и билинейные функции. Квадратичные формы, их матрицы.
Приведение квадратичной формы методом Лагранжа, методом Якоби.
Закон инерции. Критерий Сильвестра знакоопределённости квадратичной формы.
5. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Линейные преобразования, их матрицы. Собственные значения, собственные векторы. Характеристический многочлен. Жорданова форма матрицы.
6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комплексные числа, их сложение и умножение. Тригонометрическая форма комплексного числа. Теорема Муавра-Лапласа. Основная теорема алгебры.
7. ГРУППЫ
Группы, примеры групп. Конечные группы, теорема Лагранжа. Нормальная подгруппа, факторгруппа, гомоморфизм групп.
Линейные представления групп, конечные группы вращений трёхмерного пространства вокруг неподвижной точки, циклические группы, диэдральные группы, группы вращений правильных многогранников.
Граф, соответствующий группе ( диаграмма Кэли). Молекулярные графы, их матрицы смежности, инцидентности и расстояний. Изоморфизм графов. Инварианты молекулярного графа: спектр, диаметр, индексы Гутмана и Рандича.
Составители: доц. Ю.Н. Макаров, проф. В.Г. Чирский (МГУ им. М.В. Ломоносова)
Дисциплина «Дифференциальные уравнения»(углублённый курс)
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины. Задача Коши. Связь интегрального уравнения с дифференциальным.Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка.
2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные. Общее решение. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского, формула Лиувилля. Метод Лагранжа вариации постоянных. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. Операционный метод.
Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, ОСОБЫЕ ТОЧКИ И УСТОЙЧИВОСТЬ
Краевые задачи. Теорема об альтернативе. Существование функции Грина. Задача Штурма-Лиувилля. Устойчивость и асимптотическая устойчивость. Особые точки линейных систем, их классификация. Уравнение Бесселя порядка m.
4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Преобразование Лапласа, преобразование Фурье. Интегральные преобразования для решения дифференциальных уравнений.
Составитель: доцент Козко А.И. (МГУ им. М.В. Ломоносова)
ДИСЦИПЛИНА «Уравнения математической физики»
Линейные уравнения второго порядка, их характеристики. Классификация уравнений, канонический вид уравнений.
Понятие корректности задачи. Корректные постановки задач для гиперболических, параболических и эллиптических уравнений.
Формула Даламбера решения задачи Коши для одномерного волнового уравнения, корректность задачи Коши.
Вывод уравнения диффузии. Решение задач методом Фурье для одномерного уравнения диффузии.
Принцип максимума для уравнения диффузии. Единственность решения первой краевой задачи.
Закон сохранения энергии для одномерного гиперболического уравнения. Единственность решения смешанной задачи.
Решение краевых задач методом Фурье для гиперболического уравнения.
Уравнение Лапласа в декартовых и цилиндрических координатах. Принцип максимума для гармонических функций. Единственность и непрерывная зависимость решения задачи Дирихле.
Решение задачи Дирихле для круга интеграл Пуассона. Теорема о среднем значении для гармонических функций.
Ортогональные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.
Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя.
Понятие полноты и замкнутости ортогональной системы функций. Тригонометрическая система функций и тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости (без док-ва). Ряды Фурье чётных и нечётных функций. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.(Возможно изложение в курсе математического анализа)
Задача Штурма-Лиувилля о собственных значениях. Свойства собственных значений и собственных функций( простота спектра, его вещественность, неотрицательность, счётность, ортогональность системы собственных функций, полнота, формулировка теоремы В.А. Стеклова о разложении в ряд Фурье по собственным функциям)
Уравнение Бесселя.
Стационарная диффузия в полубесконечной трубке. Первая и вторая краевые задачи.
Интегральная формула Фурье. Преобразование Фурье и его свойства( линейность, преобразование Фурье от производной).
Решение задачи Коши для уравнения диффузии методом преобразования Фурье.
Составители: доц. Соболева Е.С.,доц. Фатеева Г.М. (МГУ им. М.В. Ломоносова)
Программа дисциплины методы математической физики состоит из двух программ: дисциплины «Уравнения математической физики» и дисциплины «Теория функций комплексной переменной», приводимой ниже.
Дисциплина «Теория функций комплексной переменной»
Поле комплексных чисел и операции в нём. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
Топология поля комплексных чисел. Глобальные свойства непрерывных функций.
Дифференцируемость функции комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Основные элементарные функции. Дробно – линейные отображения. Конформные отображения.
Интеграл от функции комплексного переменного. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Теорема Лиувилля о целых функциях. Принцип максимума модуля, теорема о среднем. Аналитичность дифференцируемой функции.
Ряд Лорана. Аналитичность суммы ряда Лорана в кольце сходимости. Основная теорема о вычетах. Применение теоремы о вычетах к вычислению интегралов.
Составитель: доц. А.В. Субботин(МГУ им. М.В. Ломоносова)
Дисциплина «Теория вероятностей»
Теория вероятностей как математическая наука, изучающая математические модели реальных случайных явлений. Статистическая устойчивость частот. Применение вероятностно- статистических методов в химии. Вероятностное пространство. Правила действий со случайными событиями. Аксиоматика А.Н.Колмогорова: Условные вероятности и независимость событий. Последовательность независимых испытаний. Предельные теоремы для схемы Бернулли. Случайные величины. Функция распределения. Распределение вероятностей. Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины. Плотность распределения. Совместные распределения случайных величин. Независимость случайных величин. Функции от случайных величин, распределения вероятностей, наиболее распространенные в практике вероятностно-статистических исследований в химии. Таблицы распределений. Числовые характеристики случайных величин. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
Дисциплина «Элементы прикладной математической статистики»
Обработка данных, полученных в результате наблюдении. Обзор задач, возникающих в практике исследователя химика: обработка результатов измерений; выявление аномальных результатов ("промахов"); сравнение двух аналитических методов; выбор числа параллельных определении; построение градуировочных графиков и т.д. Понятие выборки. Гистограмма и полигон частот. Эмпирическая функция распределения. Вариационный ряд и порядковые статистики. Эмпирические моменты. Статистическое оценивание параметров. Точечные оценки. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценок. Методы нахождения оценок. Интервальные оценки. Доверительные интервалы. Доверительные вероятности. Распределения хи-квадрат и Стьюдента; F-распределение. Точные доверительные интервалы для параметров нормального распределения. Статистическая проверка гипотез. Критерии значимости, основанные на интервальных оценках. Уровень значимости. Критерии "хи-квадрат". Критерии Колмогорова. Общие понятия о статистической проверке гипотез. Простые и сложные гипотезы. Ошибки 1-го и 2-го рода. Мощность критерия. Критерии Неймана-Пирсона для различения двух простых гипотез. Непараметрические критерии. Регрессионный анализ. дисперсионный анализ.
Составитель: доц. Б.В. Гладков (МГУ им. М.В. Ломоносова)
ЛИТЕРАТУРА
Основная
101. Бараненков Г.С., Демидович Б.П. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов (под ред. Демидовича Б.П.) — М.: изд. Аст: Астрель, 2003.
102. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., Наука, 1985 (Альянс, 2007).
103. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984 (Дрофа, 2006).