Ладная тематика ов, эссе и курсовых работ студентов по разделам программы (стр. 9 из 21)
Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов.
Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши. Метод выделения главной части.
Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Условная сходимость. Теорема Лейбница.
Равномерная сходимость функциональной последовательности,
ряда, sup-критерий, критерий Коши. Признак Вейерштрасса.
Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональной последовательности, ряда. Полнота пространства C[a,b].
Несобственные интегралы. Формулы Ньютона- Лейбница, замены переменных и интегрирования по частям. Линейность несобственного интеграла, интегрирование неравенств. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Теоремы о сравнении для несобственных интегралов от неотрицательных функций. Интегральный признак Коши сходимости числовых рядов.
Абсолютно сходящиеся интегралы. Условно сходящиеся интегралы.
Признаки Абеля и Дирихле. Главное значение несобственного интеграла.
Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность их суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Разложение элементарных функций в степенные ряды.
Кратный интеграл Римана по брусу, суммы Дарбу и их свойства.
Критерий Дарбу интегрируемости. Множества меры нуль по Лебегу и их свойства. Критерий Лебега интегрируемости функции на брусе.
Допустимые множества, интеграл Римана по множеству, мера Жордана ограниченного множества. Критерий Лебега интегрируемости на измеримом множестве. Свойства интеграла Римана, интеграл и неравенства. Вычисление кратного интеграла сведением к повторным. Замена переменных в кратном интеграле Римана(без доказательства) . Цилиндрические и сферические координаты. Кратные несобственные интегралы.
Собственные интегралы, зависящие от параметра, их непрерывность, дифференцирование и интегрирование.
Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Критерий Коши, признак Вейерштрасса. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле
Тригонометрические ряды. Тригонометрические ряды Фурье, их сходимость. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.
Пространство L2(a,b). Сходимость в смысле среднего квадратичного
Ортогональные системы функций. Ряды Фурье функций из L2(a,b).
Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Полнота тригонометрической системы функций.
Кривые. Ориентация кривой, касательная к кривой. Поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Криволинейный интеграл 1-го и 2-го рода. Физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода. Формула Грина. Потенциальные векторные поля.
Площадь поверхности. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода. Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. Формула Гаусса- Остроградского. Дивергенция векторного поля и её физический смысл.
Формула Стокса. Ориентация кусочно-гладкой поверхности.
Преобразование Фурье. Эйлеровы интегралы
Составители: проф. Печенцов А.С., доц. Кудрявцев Н.Л.
ДИСЦИПЛИНА «Аналитическая геометрия и высшая алгебра»
Векторная алгебра.
1. Матрицы, операции нал ними. Определители матриц размера 2
2 и 3 
3.2. Векторы и их свойства, линейное пространство свободных векторов.
3. Линейная зависимость и независимость векторов.
4. Базис и размерность линейного пространства свободных векторов. Координаты вектора. Аффинные, декартовы системы координат
5. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов, его геометрические и алгебраические свойства, координатная запись.
6. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Условия коллинеарности, компланарности и ортогональности векторов.
Аналитическая геометрия.
1. Преобразование координат на плоскости и в пространстве.
2. Прямая на плоскости, плоскость в пространстве, прямая в пространстве.
3. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
4. Эллипс, гипербола, парабола.
5. Инварианты уравнений линий второго порядка, приведение их уравнений к каноническому виду.
6. Поверхности второго порядка, их классификация, цилиндрические, конические поверхности, поверхности вращения.
Высшая алгебра.
1. Умножение матриц. Свойства определителей n-го порядка.
2. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями.
3. Ранг матрицы. Базисный минор. Способы вычисления ранга матрицы.
4. Обратная матрица.
5. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера.
6. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера -Капелли.
7. Однородные системы, фундаментальная система решений, неоднородные системы.
Дисциплина «Линейная алгебра»
Линейные и унитарные пространства.
1. Линейное пространство, его базис и размерность.
2. Изоморфизм линейных пространств. Переход от одного базиса к другому.
3. Подпространства, линейные оболочки, прямая сумма подпространств.
4. Унитарное пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Скалярное произведение. Нормированное пространство.
5. Ортогональные и ортонормированные системы и базисы, ортогонализация.
6. Изоморфизм унитарных пространств.
7. Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция не подпространство.
Линейные операторы. Линейные, билинейные и квадратичные формы.
1. Линейные операторы, операции над ними.
2. Образ и ядро линейного оператора.
3. Обратный оператор.
4. Матрица линейного оператора, её изменение при изменении базиса.
5. Собственные векторы и собственные значения, их отыскание.
6. Кратности собственных значений. Базис из собственных значений.
7. Линейные формы(функционалы).
8. Билинейные формы.
9. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду методом Лагранжа.
10. Приведение к каноническому виду методом Якоби.
11. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра.
ДИСЦИПЛИНА «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Порядок дифференциального уравнения.
2. Обыкновенные дифференциальные уравнения разрешённые и не разрешённые относительно производной. Поле направлений и интегральные кривые. Ломаные Эйлера, изоклины.
3. Уравнения с разделяюшимися переменными. Квадратуры. Однородные функции и однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, однородные и неоднородные, вариация постоянной. Уравнение Бернулли, уравнение Риккати, случаи интегрируемости в квадратурах
5. Уравнения в полных дифференциалах.
6. Интегрирующий множитель.
7. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной, существование и единственность решения , сведение к интегральному уравнению, принцип сжимающих отображений.
8. Гладкость решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных данных и параметров. Устойчивость по Ляпунову.
9. Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной, задача Коши.
10. Приёмы интегрирования уравнений первого порядка, не разрешённых относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро.
11. Особое решение уравнения первого порядка, не разрешённого относительно производной. Особое множество. Дискриминантная кривая, семейство интегральных кривых и его огибающая.
12. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, задача Коши. Уравнения высших порядков, разрешённые относительно старшей производной, понижение порядка.
13. Линейные дифференциальные уравнения. Линейная зависимость системы функций. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения.
14. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения. Определитель Вронского.
15. Формула Лиувилля-Остроградского для определителя Вронского фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения.
16. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен.
17. Уравнения Эйлера.
18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения, структура его решения. Принцип суперпозиции решений.
19. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью – квазимногочленом. Резонансный и нерезонансный случай.
20. Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных. Метод Коши нахождения частного решения.
21. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Функция Грина. Задача Штурма-Лиувилля.
22. Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Матричная запись. Пространство решений, его размерность и базис.
23. Фундаментальная матрица системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского.
24. Система линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Структура общего решения, метод вариации постоянных.
25. Экспонента от матрицы. Фундаментальная матрица однородной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Формула Дюамеля для решения неоднородной системы.
26. Основные понятия теории устойчивости. Точки покоя. Исследование нелинейной системы на устойчивость по первому приближению. Линеаризация.