Сравнение скоростей роста степенной, показательной и логарифмической функций.
Производные высших порядков, геометрический смысл второй производной, формула Тейлора.
Элементы дифференциального исчисления функций нескольких переменных. Частные производные и дифференциал, связь дифференцируемости с наличием частных производных. Дифференциал, его геометрический смысл и инвариантность.
Производная по направлению, градиент, его инвариантность.
Частные производные высших порядков. Необходимое условие локального экстремума, формулировка достаточного условия локального экстремума.
Неопределённый интеграл, основные методы интегрирования.
Определённый интеграл, простейшие свойства, необходимое условие интегрируемости, классы интегрируемых функций. Интегрирование неравенств, аддитивность интеграла, как функции отрезка, теорема о среднем.
Свойства интеграла, как функции верхнего предела, формула Ньютона-Лейбница.
Геометрические и механические приложения определённого интеграла. Понятие о несобственных интегралах.
Дифференциальные уравнения первого порядка, формулировка теоремы существования и единственности, методы изоклин и ломаных Эйлера. Простейшие классы интегрируемых уравнений и приёмы их решения.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка( общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами).
Примеры математических моделей, сводящихся к дифференциальным уравнениям: уравнение радиоактивного распада, модель роста биомассы, модель роста деревьев, модель «хищник-жертва».
Простейшие свойства числовых рядов, формулировка критерия Коши. Ряды с положительными членами, признаки сравнения.
Признаки Коши и Даламбера, интегральный признак.
Абсолютная и условная сходимость рядов, признак Лейбница.
Функциональные ряды, непрерывность суммы, дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.
Степенные ряды, теорема Абеля, радиус и интервал сходимости, свойства суммы степенного ряда.
Ряды Тейлора, основные разложения.
Ряды с комплексными членами, формулы Эйлера
Углублённый курс( УГС 020207)
Дисциплина «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Аналитическая геометрия
Основные формулы векторной алгебры. Вектор-функция скалярного аргумента. Прямые и плоскости в пространстве. Основные поверхности второго порядка.
Линейная алгебра
Матрицы, действия над ними, ранг матрицы, обратная матрица. Определители, их свойства. Примеры использования матриц в биологических моделях. Системы линейных уравнений, решение по правилу Крамера, критерий совместности. Однородные системы, фундаментальная система решений.
n-мерное векторное пространство, размерность, базис. Разложение вектора по базису, переход к новому базису.
Подпространства векторного пространства, размерность суммы и пересечения подпространств, прямая сумма.
Линейные преобразования, матрица преобразования. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. Стохастические матрицы и их свойства.
Евклидово пространство, ортонормированный базис, неравенство Коши-Буняковского.
Линейный оператор в евклидовом пространстве, сопряжённый вектор. Самосопряжённый оператор, его свойства и собственные значения. Ортогональный оператор, его матрица и собственные значения.
Квадратичные формы, приведение к каноническому виду, закон инерции, критерий Сильвестра.
Группы, определение и примеры. Подгруппы, Теорема Лагранжа.
Дисциплина «Математический анализ»
Предел последовательности и функции. Действия с пределами, связь с бесконечно малыми. Общие теоремы л пределах. Эквивалентные величины, их свойства. Таблицы эквивалентных, понятие о символе «о-малое».
Точная верхняя и нижняя грани множества, теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях. Число e.
Лемма Кантора о стягивающихся отрезках. Подпоследовательности, теорема Больцано-Вейерштрасса.
Непрерывные функции, общие теоремы, локальные свойства, свойства функций, непрерывных на отрезке. Непрерывность элементарных функций, «замечательные пределы».
Дифференцируемость функции одной переменной, связь с непрерывностью и с производной. Дифференциал, его геометрический смысл, инвариантность.
Правила дифференцирования, таблица производных, производная сложной функции, обратной функции и функции, заданной параметрически.
Теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа, следствия из них. Исследование поведения функции с помощью производной, построение графиков с полным исследованием.
Сравнение скоростей роста степенной, показательной и логарифмической функций.
Производные высших порядков, геометрический смысл второй производной, формула Тейлора.
Дифференцируемость функции нескольких переменных. Частные производные и дифференциал, связь дифференцируемости с наличием частных производных. Геометрический смысл дифференциала, его инвариантность.
Производная по направлению, градиент.
Частные производные высших порядков. Необходимое условие локального экстремума, формулировка достаточного условия локального экстремума.
Неопределённый интеграл, основные методы интегрирования.
Определённый интеграл, простейшие свойства, необходимое условие интегрируемости, классы интегрируемых функций. Интегрирование неравенств, аддитивность интеграла, как функции отрезка, теорема о среднем.
Свойства интеграла, как функции верхнего предела, формула Ньютона-Лейбница.
Геометрические и механические приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы.
Дифференциальные уравнения первого порядка, формулировка теоремы существования и единственности, методы изоклин и ломаных Эйлера. Простейшие классы интегрируемых уравнений и методы их решения.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка( общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами).
Примеры математических моделей, сводящихся к дифференциальным уравнениям: уравнение радиоактивного распада, модель роста биомассы, модель роста деревьев, модель «хищник-жертва».
Простейшие свойства числовых рядов, критерий Коши. Ряды с положительными членами, признаки сравнения.
Признаки Коши и Даламбера, интегральный признак.
Абсолютная и условная сходимость рядов, признак Лейбница.
Функциональные ряды, сходимость и равномерная сходимость, признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
Степенные ряды, теорема Абеля, радиус и интервал сходимости, свойства суммы степенного ряда.
Ряды Тейлора, основные разложения.
Ряды с комплексными членами, формулы Эйлера.
. Двойной интеграл, его свойства, замена переменных. Геометрические приложения двойного интеграла.
Тройной интеграл, его свойства, замена переменных.
Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства.
Формула Грина, условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Односторонние и двусторонние поверхности. Поверхностные интегралы первого и второго рода, связь между ними.
Поток вектора через поверхность, дивергенция, теорема Остроградского-Гаусса.
Векторные линии, векторные трубки, соленоидальное поле.
Формула Стокса, ротор, циркуляция, потенциальное поле.
Примеры применения векторного анализа к физическим задачам.
Элементы математической физики (вариативная дисциплина, возможно чтение в курсе математического анализа)
Ряды Фурье по тригонометрической системе функций. Формулировка теоремы о разложимости функции в ряд Фурье, разложения чётных и нечётных функций. Ортогональные системы функций на отрезке. Понятие об обобщённых рядах Фурье.
Решение уравнения колебания струны методом Фурье.
Решение уравнения теплопроводности методом Фурье.
Задача о колебании неограниченной струны, формула Даламбера
Элементы теории функций комплексного переменного(вариативная дисциплина, возможно чтение в курсе математического анализа)
Дифференцируемые функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана, гармонические функции.
Теорема Коши об интеграле от аналитической функции. Интегральная формула Коши.
Разложение аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана. Классификация особых точек.
Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Вычисление вычетов. Примеры вычисления интегралов с помощью вычетов.
Составитель: доц. Ю.Н. Сударев(МГУ им . М.В. Ломоносова)
Рекомендуемая литература:
Основная
2. Бараненков Г.С., Демидович Б.П. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов (под ред. Демидовича Б.П.) — М.: изд. Аст: Астрель, 2003.
3. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., Наука, 1985 (Альянс, 2007).
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984 (Дрофа, 2006).
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988 (Дрофа, 2007).
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. М., Наука, 1985 (Дрофа, 2005).
7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. М., Наука, 1982. (Физматлит, 2001).
8. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003(серия “Классический университетский учебник”).
9. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. М., Наука, Физматлит, 2001.
10. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: учебник для вузов, М., Наука, 2000.
11. Владимиров К.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: задачник для вузов, М., Наука, 2000.