Название работы (стр. 1 из 5)

VII зональная научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

Направление: Математика

Название работы:

«Задачи на смеси и их практическое применение»

Автор: Ветошкина Юлия, ученица 9 а класса

Место выполнения работы: МОУ ООШ № 21 г. Оленегорска
Мурманской области

Научный руководитель: Прокопенко Надежда Ивановна,
учитель математики МОУ ООШ №21

2008 г.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение 3
2. Различные способы решения задач 5
3. Задачи на изменение концентрации 7
4. Задачи на «высушивание» 14
5. Задачи на смешивание 17
6. Задачи на переливание 21
7. Задачи на добавление 26
8. Заключение 30
9. Список литературы 31

1. Введение

Цели и задачи исследования:

1. Выяснить существуют ли другие (неизвестные нам) способы решения задач на смеси, если да, то изучить и применить при решении задач.

2. Исследовать, как меняются формулы для нахождения количества «чистого» вещества и процентного содержания «чистого» вещества в полученной смеси после «п» переливаний в зависимости оттого, что дано в начале: смесь или «чистое» вещество.

3. Систематизировать задачи по уровню сложности.

Почему мы выбрали данную тему?

1. Задачи на смеси ежегодно включают в варианты ЕГЭ 11 класса, а теперь и в 9 классе, но многие ученики не приступают к решению, так как испытывают сложности при решении этих задач.

2. Тема «Задачи на смеси» имеет практическую направленность. Собираясь в школу, мы пьем чай (не задумываясь о концентрации сахара в чае, однако кладем столько сахара, чтобы не пересластить), летом мы ходим за грибами, затем их сушат и мы понимаем, что чем дольше их сушить, тем меньше в них остается воды, и при этом количество «сухого» вещества не меняется. Врач выписывает рецепт, и мы идем в аптеку, где готовят лекарство (смесь). Когда начинается эпидемия гриппа, технички моют пол, добавляя хлорку в воду для того, чтобы «убивать» микробы (если хлорки положить больше нормы, то можно отравиться). Мы пьем воду, которую предварительно обработали (на «Водоканале» воду очищают от примесей и обеззараживают). Наши родители работают на ГОКе и их зарплата зависит от %-ного содержания железа в добытой руде. И т. д.

3. Мы выбрали тему «Задачи на смеси» еще и потому, что нас заинтересовали задачи на переливание:

Из сосуда, где находится p%-ный раствор вещества, отливают а литров смеси и доливают a литров воды. Какова доля вещества после n переливаний и сколько вещества в полученной смеси?

Мы вывели формулы

; , а затем решили проверить как изменятся (или не изменятся) формулы, если вначале в сосуде находилось «чистое» вещество (кислота, спирт и так далее), получили , . Оказалось, что в новых формулах нет 0,01р. Теперь появилась возможность быстро решить задачи данного типа с числовыми данными.

В чем практическая значимость нашей работы?

По справочникам и учебным пособиям мы выбрали задачи на смеси и, решив, распределили их по блокам. А поскольку в ходе работы мы узнали новый способ решения задач на смеси – «старинный», то, изучив его, смогли решить задачи несколькими способами. В конце каждой задачи мы указали, начиная с какого класса можно ее решать. Это позволит учителю одну и ту же задачу (или ей подобную) включать в 5 классе (или в 6 классе) при изучении темы, а потом её же включить при повторении в 9 классе. Так как задачи решены различными способами, то ученики имеют возможность сравнивать способы решения, выбирать наиболее рациональный, кроме того, ученики повторяют, как найти часть от числа и число по части, прямую и обратную пропорциональность, решение уравнений и другое.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования полученных в ходе исследования данных для работы на уроках.

2. Различные способы решения задач

Говоря о смесях, растворах, сплавах – будем употреблять термин «смесь» – независимо от ее вида (твердая, жидкая, сыпучая и т.д.). Смесь состоит из «чистого вещества» и примеси. Что такое чистое вещество – определяем в каждой задаче отдельно.

Долей (a) чистого вещества в смеси называется отношением количества чистого вещества (m) в смеси к общему количеству смеси (М).

Например. В колбе 140 мл. 10%-ного раствора марганцовки. Долили 60 мл 30%-ного раствора марганца. Определить %-ное содержание марганца в полученном растворе.

	m	М	a
Было	0,1× 140 = 14 (мл)	140 мл	0,1
Добавили	0,3 × 60 = 18 (мл)	60 мл	0,3
Стало	32 мл	200 мл	?
– процентное содержание марганца в полученном растворе

Поменяем условие задачи: Сколько нужно взять 10%-ного раствора марганцовки и 30%-ного раствора, чтобы получить 200 мл. 16%-ного раствора марганца.

1 способ.

m	М	a
0,1 × х мл	Х мл	0,1
0,3(200 – х) мл	(200 – х) мл	0,3
(0,1 + 0,3×(200 – х)) мл	(200 – х) мл	0,16

0,1х + 0,3(200 – х) = 0,16 × 200

0,1х + 60 – 0,3х = 32

0,2х = 28 х = 140

10%-ного раствора надо взять 140 мл,

30%-ного раствора 60 мл.

2 способ.

10% взяли х мл, 30% - y мл; получили 200 мл, где 200 × 0,16 = 32 (мл) марганца, то

Получили: х = 140, y = 60

Решим эту задачу «старинным» способом:

Друг под другом пишут содержания веществ (в задаче это %-ное содержание марганца) имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержание вещества в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединим записанные числа черточками, получим схему

Теперь из большего числа вычитаем меньшее, т.е. 16 – 10 = 6; 30 – 16 = 14

10 14

Получаем: 16

30 6

Из схемы делается заключение, что 10%-ного раствора надо взять 14 частей, а 30%-ного раствора – 6 частей.

Значит, в 200 мл: 14 + 6 = 20 (частей)

200 : 20 × 14 = 140 (мл) – 10%-ного раствора

200 : 20 × 6 = 60 (мл) – 30%-ного раствора

3. Задачи на изменение концентрации

3.1. Имеется бутылка 20%-ного раствора кислоты и бутылка 40%-ного раствора кислоты.

1) Смешали 200 г из I бутылки и 300 г из II. Сколько «чистой» кислоты содержится в смеси? Определить % - ное содержание кислоты в полученном растворе.

m	M	a
0,2 × 200 = 40 (г)	200	0,2
0,4 × 300 = 120 (г)	300	0,4
160 г	500	160 500

160 г чистой кислоты в смеси

- процентное содержание кислоты.

2) Взяли 300 г из I бутылки. Сколько надо долить из II, чтобы получить 32%-ный раствор?

m	M	a
0,2 × 300 = 60 (г)	300	0,2
0,4 × х = 120 (г)	Х	0,4
(60 + 0,4х) г	(300 + х) г	0,32

60 + 0,4х = 0,32(300 + х)

60 + 0,4 х = 96 + 0,32х

0,08х = 36 х = 450

Надо долить 450 г II-го раствора.

3) Верно ли, что если из II бутылки берут на 50% больше, чем из I, то смесь всегда оказывается 32%-ным раствором кислоты?

m	M	a
0,2х л	х л	0,2
0,4 × 1,5х л = 0,6х (л)	1,5х л	0,4
0,8х л	2,5х л	0,8х 2,5х

3.2. Вода содержит 18% сахара. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг сладкой воды, чтобы содержание сахара составило 15%? (с 5 кл.)