Г. П. Прокопов Контроль энтропии в алгоритмах и расчетах газодинамических течений (стр. 4 из 8)
Сказанное означает, что «мягкий контроль энтропии» в ячейках сетки становится тогда излишним. Такой контроль однако не теряет своей актуальности, если «подмешиваются» компоненты с низкой энтропией.
Очевидна и недостаточность только «мягкого» контроля. Результат контроля может быть благоприятным, хотя «кое-где у нас порой» происходило убывание энтропии, но это удалось скрыть за счет соседних узлов сетки.
§ 5. Как быть с другими схемами?
Есть еще широкий круг алгоритмов расчета газодинамических течений, реализующих законы сохранения в форме (1.5). При этом величины потоков Fj вычисляются, исходя совсем из других соображений, чем в рассмотренных выше методах «типа Годунова».
Сюда, в частности, можно отнести многие схемы, рассмотренные в главах 2-3 монографии [3]. Не будем повторять и расширять их перечисление, сделанное во введении.
В разделе 2.10, который называется «Энтропийная коррекция» и занимает всего лишь стр.139-144, специально рассматриваются «алгоритмы, которые позволяют избежать появления в численных результатах нефизических решений, в частности, газодинамических ударных волн разрежения. Такая коррекция вводит дополнительный механизм отбора физически приемлемого решения» (см. [3], стр.139).
Ввиду того, что аналитическое исследование поведения энтропии слишком затруднительно из-за сложности алгоритмов, автор предлагает пойти по следующему пути.
Будем рассматривать любой применяемый алгоритм расчета газодинамических течений посредством уравнений (1.1) как «черный ящик». Пусть (безразлично каким способом) в некотором узле сетки получены значения потоков, т.е. вектор F из трех величин (F1, F2, F3) компонент (1.2).
Будем рассматривать его как результат для некоторого условного, гипотетического газа. Параметры этого газа должны восстанавливаться, исходя из уравнений для потоков, дополненных нужным уравнением состояния, в рассматриваемом пока случае – уравнением (1.4):
(5.1)
(5.2)
(5.3)
Имеем систему четырех уравнений для четырех величин
. Существует ли ее единственное решение и можно ли его восстановить?Предположим, что решение существует.
Тогда из (5.1)-(5.3) последовательно получаем:
(5.4)
, 
(5.5)
Запишем уравнение состояния в виде:
(5.6)
Подставляя в него результаты (5.4)-(5.5), получаем:
(5.7)
Это квадратное уравнение для u приводится к виду (конечно,
):(5.8)
Его дискриминант
(5.9)
должен быть неотрицательным. Поскольку предполагается, что решение существует, воспользуемся соотношениями (5.1)-(5.3) и подставим их в формулу (5.9):
(5.10)
,что и требовалось.
Следовательно, уравнение (5.8) может быть решено. Остается правильно распорядиться его двумя вещественными корнями:
(5.11)
, 
Опять же, поскольку решение существует, воспользуемся соотношениями (5.1)-(5.3) и подставим их в формулы (5.11). Получим:
Одно из этих равенств превращается в тождество:
(5.12)
,
При работе с формулами (5.11) определить, какой из корней является содержательным, проще всего, если вычислить оба корня и проверить их. По значениям
и (или) 
могут быть вычислены(5.13)
, 
.Возможность восстановить параметры условного газа по полученным значениям потоков реализуется по (5.9),(5.11) и (5.13) при условии
.Конечно, после этого прежде всего проверяется «разумность» полученного результата:
(5.14)
, 
.Если эти условия выполнены, вступает в силу постулат об энтропии. По формуле (2.8) с привлечением параметров
газа-«напарника», участвующего в расчете потоков, вычисляется величина изменения энтропии 
. Результат такого «жесткого энтропийного контроля» признается правомочным только в случае, если энтропия неубывает: 
. Конечно (хотя бы с учетом ошибок округления), его стоит несколько ослабить:(5.15)
, или 
, где 
.Хочется пойти и на большее ослабление: в связи с обсуждением в конце § 3 и рис.2 допустимое значение
увеличить. Однако уместно заметить, что «ложка дегтя может испортить бочку меда».Наконец, главное: из двух корней (5.11) «хороший» должен быть и только один – иначе «грозит» неединственность или нефизичность решения основной задачи. Заметим также, что речь идет о контроле, который (пока) не влияет на расчет.
§ 6. Снова о схеме C и ее экономичности
Вернемся снова к тревожным результатам «жесткого энтропийного контроля», полученным для схемы С уже на простейшей модельной задаче с симметричным распадом разрыва. Чем же можно тогда объяснить предъявление успешных результатов расчетов по схеме С? В частности, цитируем [4]: «Численное решение различных одномерных и пространственных задач показало, что в разработанной схеме нет проблем прохождения звуковой точки и не требуется снижение числа Куранта на сильных разрывах… Предложенный подход имеет фундаментальный характер и обобщен на стационарный случай. Разработаны монотонные схемы 2-го порядка… В качестве иллюстрации представлены результаты расчетов пяти вариантов типовых задач Торо [6]».
Что можно выдвинуть в качестве возможных версий такого благополучного развития событий? Начнем с того, что, по-видимому, энтропией просто не интересовались.
Оценки, сделанные в конце §3 для интервала значений m, гарантирующих попадание в условный пороговый интервал d, показывают, что, как правило, это попадание наверняка происходило.
В таком случае возможность компенсировать «потери энтропии» в одном узле сетки за счет другого вполне реальна. Возможно, если ввести «мягкий энтропийный контроль» только по ячейкам сетки, то он и не обнаружит нарушений энтропийного режима. А даже, если и обнаружит, вовсе не обязательно, что они должны проявляться визуально. Внешне результаты могут выглядеть вполне удовлетворительно и с «неправильной» энтропией (и вот это тревожит и вынуждает ставить вопрос о контроле).
В качестве еще одной версии можно предполагать, что круг решенных задач был достаточно «благоприятным» для схемы С. Интуитивно не вызывает сомнений, что она может успешно работать при расчете течений, у которых нет резких различий параметров в соседних ячейках разностной сетки. По-видимому, так и было. (Заметим, например, что для формул (1.7) даже не оговаривается, что делать в случае
или 
). Во всяком случае, для одномерных задач неизмеримо выросшая производительность вычислительных машин и многопроцессорных комплексов позволяет считать с таким числом узлов сетки, что достигнуть отсутствия этих «резких различий» вполне реально. Сложнее обстоит дело с двумерными и, тем более, пространственными задачами.