Г. П. Прокопов Контроль энтропии в алгоритмах и расчетах газодинамических течений (стр. 7 из 8)
Легко проверить, что первая из них может быть записана в таком виде:
(7.19)
Напомним, что изучение случая
отложено, и в настоящей работе рассматриваться не будет, чтобы не загромождать изложения. Кроме того, и полученные результаты не совсем обоснованы, поскольку формулы (7.18) получены для симметричного варианта распада разрыва. Возможно, они потребуют уточнения. В частности, чтобы в асимметричном случае распада при 
реализовать «звуковые» волны, необходимо в (7.1) заменить скорости 
на 
, где 
, 
Полагая
, массовые скорости 
будем вычислять так:(7.20)
Тогда, как проверено для симметричного примера (2.1), дальнейшие вычисления в СП-схеме по формулам схемы С, описанным в § 1, должны позволить избежать разрывов, на которых убывает энтропия. Конечно, такое предложение должно быть тщательно проверено в численном эксперименте. Хотелось бы, чтобы описанный в настоящей работе контроль энтропии СП-схема выдерживала автоматически (как схема С.К.Годунова с соответствующим алгоритмом расчета распада разрыва).
В предлагаемой СП-схеме, аналогично схеме С, речь идет только о приближенном расчете распада разрыва. Для модельного примера симметричного распада разрыва сохраняется роль
вместо значения 
в аналитическом решении.Поэтому все, что было изложено в конце § 6 по поводу необходимости использовать для счета границ и в случаях резкого различия параметров в соседних ячейках сетки алгоритм точного распада разрыва, остается в силе.
Роль алгоритма точного расчета распада разрыва в качестве универсального инструмента решения таких вопросов по-прежнему сохраняется. Что касается больших затрат машинного времени, то что же делать – «бесплатный сыр бывает только в мышеловке».
Эти затраты объективно вызваны сложными формулами точного расчета распада разрыва в алгоритме, описанном в [2] на стр.110-115. Фактически это – плата за возможность в ходе итерационного процесса продвинуться от «барьера»
к правильному значению 
.Если численный эксперимент не обнаружит скрытых недостатков предлагаемой СП-схемы, можно было бы вместо «звукового» приближения рассчитывать начальное приближение для алгоритма точного распада разрыва посредством СП-схемы. (Напомним, что можно остановиться на вычислении давления
, если из-за асимметрии распада разрыва энтропия все же уменьшится. В этом случае – нарушения условия (5.15) – следует продолжить расчет, как в методе Годунова – см. § 4).Более того, в случаях, когда нет резкого различия между параметрами в соседних ячейках (это типично для сквозного счета газодинамических течений) полученное приближение может оказаться вполне достаточным, чтобы им и ограничиться.
§ 8. О проблеме сложных уравнений состояния.
При решении практических задач зачастую приходится иметь дело с ситуацией, когда уравнение состояния среды задается не в виде идеального газа (1.4), а описывается гораздо более сложными зависимостями.
Опыт работы с методом С.К.Годунова выявил особую роль так называемых двучленных уравнений состояния:
(8.1)
.В отличие от (1.4), оно содержит три параметра
. Удобно вместо параметра r0 использовать параметр р0, определяемый формулой:(8.2)
Для дальнейшего будут нужны также соответствующие (8.1) формулы для скорости звука с и энтропии s:
(8.3)
, 
.Очевидно, что идеальный газ (1.4) будет частным случаем (
).Нетрудно убедиться, что все изложенное в §§ 1-4 реализуется и для уравнения состояния (8.1) после внесения очевидных изменений в те формулы, которые его используют. Описание в [2] на стр.110-115 задачи о распаде разрыва это подтверждает, поскольку алгоритм был разработан сразу именно для двучленного уравнения состояния (8.1).
Поэтому обратимся сразу к § 5, где это еще предстоит сделать.
Замена идеального газа (1.4) на (8.1) приводит к тому, что уравнение (5.7) придется заменить на следующее:
.Полученное уравнение тоже является квадратным относительно u и, с учетом (8.2), приводится к виду:
(8.4)
Его дискриминант
(8.5)
тоже должен быть неотрицательным. Формулы (5.11) заменяются на следующие:
(8.6)
Нужный корень
или 
определяется так же, как в § 5, с привлечением параметров 
газа-«напарника». При этом условия (5.14) заменяются на следующие:
, 
,а условие неубывания энтропии (5.15) формулируется в виде:
(8.7)
Присутствие
в формуле (8.7) могло бы привести к изменению важной формулы (7.5), которая столь громоздко исследовалась. Но этого не произойдет: величина 
назначается формулой (7.2), в которой участвует лишь через 
. Поскольку
,как и было ранее, если полагать
(8.8)
,то формула (7.5) сохранит свой вид. Следовательно, все изменения сводятся только к определению величины m формулой (8.8) вместо прежней
в случае идеального газа (1.4).Это позволяет в случае двучленного уравнения состояния (8.1) воспользоваться всеми результатами проведенных в § 7 исследований, имея лишь в виду определение (8.8).
Упомянутая выше особая роль двучленного уравнения состояния состоит в следующем. Как выяснилось при многолетней эксплуатации метода С.К.Годунова, при работе с уравнениями состояния, которые задаются сложными зависимостями
, оказывается полезным следующий прием, предложенный А.В.Забродиным. Для решения задачи о распаде разрыва эти сложные зависимости аппроксимируются локально двучленными уравнениями состояния (8.1). Формулы для вычисления параметров 
можно найти, напр., в [3] на стр.177.Такой прием успешно используется в практике расчетов, но не является универсальным. Трудности возникают, если для параметров
, вычисленных указанным способом, не выполняются требования(8.9)
, 
, 
.Как указано в [3] на стр.179, «двучленная аппроксимация может быть использована для уравнения состояния общего вида при условии, что оно удовлетворяет условиям нормального газа… Для других типов уравнений состояния решение задачи Римана может быть неединственным, иметь неклассическую структуру или даже нарушить гиперболичность системы уравнений… В этих случаях использование двучленной аппроксимации может, вообще говоря, давать посторонние или физически неприемлемые решения». Есть ли выход из такой ситуации? Есть.