Г. П. Прокопов Контроль энтропии в алгоритмах и расчетах газодинамических течений (стр. 8 из 8)
Сейчас уместно упомянуть об универсальном подходе к решению задачи о распаде разрыва в случае сколь угодно сложных уравнений состояния, изложенном в небольшой монографии [9], изданной в 1970 году. Правда, этот подход требует организации довольно сложного «хозяйства», и его рассмотрение выходит за рамки настоящей работы.
Еще одна проблема связана с тем, что уравнения состояния могут не удовлетворять термодинамическому тождеству. В таком случае для них не может быть определена энтропия, а, следовательно, теряет смысл постановка вопроса о ее контроле.
В качестве конкретного примера можно привести реализацию уравнений состояния, заданных в табличной форме в виде зависимостей
(8.10)
, 
, где Т – температура.В работе [10] эти таблицы аппроксимировались независимыми билинейными функциями вида
(8.11)
, 
со своими коэффициентами в каждой ячейке таблиц. При этом, за исключением случайных ситуаций
, не выполнено термодинамическое тождество (см. [11], стр.6).В работах автора [11-12] предложен громоздкий, но вполне реализуемый путь преодоления этого принципиального затруднения. Уравнение состояния в отдельной табличной ячейке конструируется как линейная комбинация частных решений, удовлетворяющих условию термодинамического согласования. Чтобы такая комбинация обеспечивала нужные табличные значения функций (8.10) в четырех углах ячейки, она должна содержать 8 свободных параметров. При удачном выборе частных решений для вычисления параметров выписываются явные формулы.
Поскольку для используемых частных решений энтропия определена, она будет определена и для построенного решения. Это открывает дорогу для реализации энтропийного контроля, описанного в настоящей работе.
Для уравнений (8.11), возникающих при реализации табличных данных, гипотетически возможен и другой путь. Из уравнения для энергии e выражаем температуру Т:
и подставляем в уравнение для давления:
(8.12)
Далее полученное уравнение состояния
с помощью упомянутого выше алгоритма локальной аппроксимации «превращаем» (локально) в двучленное уравнение состояния (8.1) с некоторыми параметрами 
(или р0). Если нам повезет и будут выполнены условия (8.9), то все в порядке. Можно будет вычислить энтропию по формуле (8.3) и реализовать описываемый ее контроль.А если нет? Упираемся в уже упомянутую выше проблему. Судя по изложенному в статье [10], стр.782, «трудности возникают при наличии областей, где среда находится в состоянии фазового перехода между жидкостью и газом (кипящая жидкость). В такой области некоторые термодинамические величины, например, теплоемкость при постоянном давлении, обращаются в бесконечность, что недопустимо для двучленного уравнения состояния». Это вынудило автора [10] отказаться от такого пути.
В связи с этим возникает серьезный вопрос о допустимости вообще уравнений состояния, не удовлетворяющих термодинамическому тождеству. Не собираемся ли мы бороться с «нефизическими» решениями (типа разрывов, на которых убывает энтропия) в «нефизических» условиях, которые сами же допускаем?
Заключение
Как следует из названия настоящей работы, главной ее целью автор считает изложение метода контроля поведения энтропии в ходе выполнения расчетов газодинамических течений. Описанные в ней практические алгоритмы такого контроля просты и могут быть использованы при выполнении расчетов для разнообразных известных и широко используемых методов. Как правило, сами эти методы настолько сложны, что вполне могут «скрытно» допускать при численной реализации нефизические решения, в частности, газодинамические ударные волны разрежения.
Решающую роль сыграла возможность аналитически разобраться в вопросе о поведении энтропии на примере очень простой и изящной разностной схемы С, опубликованной в работе [4]. При этом, к сожалению, получили подтверждение опасения о возможности реализации таких разрывов, на которых уменьшается энтропия. Следовательно, они по существу аналогичны ударным волнам разрежения.
Автор предвидит возможные возражения, напр., такого характера: «А зачем нам энтропия? Аэродинамические нагрузки определяют давление и плотность, а их мы считаем хорошо».
Ну, что же, возможно, в таких задачах и можно не обращать внимание на энтропию. (Хотя и здесь есть подозрение: не слишком ли хорошо? Но ведь этим не исчерпывается круг задач, которые приходится решать.
В качестве поддержки своей позиции автор предлагает обратиться к стр.5 работы [13]. Там сказано, что дополнительное требование неубывания энтропии «позволяет в классе всех возможных кусочно-гладких решений газодинамических уравнений выделить единственное физически реализуемое, отбросив решения с термодинамически аномальным поведением, вроде ударных волн разрежения. Таким образом, задача построения разностного алгоритма расчета газодинамических течений общего вида не сводится к выбору разностной схемы для системы дифференциальных уравнений, а является гораздо более сложной задачей».
Идентичное по содержанию мнение С.К.Годунова автор цитировал на стр.100 работы [1].
На стр.7 работы [13] отмечаются трудности правильного моделирования изменения энтропии, поскольку на разностной сетке гладкие волны сжатия формально неотличимы от размазанных ударных фронтов. В то же время на гладких участках энтропия должна сохраняться, а на фронтах разрывов – расти.
Автор обращается с предложением к специалистам, конструирующим алгоритмы, и тем, кто считает газодинамические задачи. Осуществлять в процессе расчета описанный в настоящей работе контроль энтропии для специалистов, располагающих реализованными алгоритмами, не должно составлять большого труда. (Конечно, из соображений экономии возможен и выборочный контроль наиболее «ответственных» мест по пространству и времени.) При этом автоматизированный контроль энтропии совсем не обязательно предполагает остановку расчета (если этого не хочет исполнитель, даже в неблагополучной ситуации). Важно, что о таких ситуациях контроль может сообщать исполнителю и подготовить его к тому, что результаты расчета могут оказаться сомнительными (или, напротив, что с энтропией все благополучно). Одновременно будет накапливаться информация по обсуждаемому вопросу.
Автор благодарен М.С.Гавреевой и А.В.Северину за помощь в оформлении работы.
Литература
1. Прокопов Г.П. Загадка метода Годунова.// Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Математ. моделир. физ.процессов. 2005, вып.4, с.98-101.
2. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Под ред. С.К.Годунова.// М., «Наука», 1976, 400 с.
3. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений//М., ФИЗМАТЛИТ, 2001, 608 с.
4. Сафронов А.В. Разностный метод для уравнений газодинамики из соотношений на разрывах для вектора потока.// Материалы XVII Школы-семинара «Аэродинамика летательных аппаратов», ЦАГИ, 2006.
5. Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика.// М., Изд-во иностр. литер., 1955, 480 с.
6. Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Method for Fluid Dynamics.// Springer – Verlag. Second Edition, June 1999.
7. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики.// Матем. сб., 1959, 47, вып.3., с.271-306.
8. Прокопов Г.П., Степанова М.В. Расчет осесимметричного взаимодействия ударной волны с затупленным телом, движущимся со сверхзвуковой скоростью.// Препринт АН СССР, 1974, №72, 26 с.
9. Алалыкин Г.Б., Годунов С.К., Киреева И.Л., Плинер Л.А. Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках.// Изд-во «Наука», Гл.ред.физ.-мат.лит., М., 1970, 112 с.
10. Чарахчьян А.А. Об алгоритмах расчета распада разрыва для схем С.К.Годунова.// ЖВМиМФ, 2000, 40, №5, с.782-796.
11. Прокопов Г.П. Аппроксимация табличных уравнений состояния для расчета газодинамических задач.// Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2004, №80, 28 с.
12. Прокопов Г.П. Исследование формул аппроксимации табличных уравнений состояния в переменных температура-плотность.// Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2005, №26, 28 с.
13. Забродин А.В., Софронов И.Д., Ченцов Н.Н. Адаптивные разностные методы математического моделирования нестационарных газодинамичес-ких течений. (Обзор).// Вопросы атомной науки и техники. Серия: Методики и программы численного решения задач математической физики, 1988, вып.4, с.3-22.