Г. П. Прокопов Контроль энтропии в алгоритмах и расчетах газодинамических течений (стр. 5 из 8)

К тому же главную роль играет еще и то, каковы эти задачи. В связи с этим стоит коснуться еще одного вопроса.

Во введении был упомянут семинар, на котором автором работы [4] докладывались результаты, полученные по схеме С. По традиции объявление о семинаре сопровождалось аннотацией, которую, естественно, предоставляет докладчик. Приведем цитату из этой аннотации: «Метод является самым экономичным работоспособным приближенным решением задачи Римана распада разрыва и сокращает вычисления в 5-6 раз по сравнению с точным». В тексте [4] формулировка более сдержанная: «При существенно меньших затратах машинного времени на контактных разрывах, в зонах разрежения и при ударных волнах слабой и «средней» интенсивности результаты очень близки к схеме Годунова, сильный разрыв размазывается на 2-3 ячейки сетки, в то время как в схеме Годунова на 1-2».

Отдав уже во введении должное этому действительно очень простому и компактному алгоритму, целесообразно сделать следующее замечание. Конечно же сокращение времени в несколько раз достигается, как за счет гораздо более простых формул, так и за счет того, что предлагаемая схема С, условно говоря, делает только одну итерацию, удовлетворяясь приближенными решениями. Так может быть для тех задач, которые рассматривались, и при использовании схемы Годунова достаточно было бы при расчете распадов разрывов делать одну итерацию, а то и вовсе ограничиваться «звуковым» приближением? Такое сравнение по затратам машинного времени было бы более корректным.

Безусловно, формулы (1.7)-(1.8) действительно очень просты и экономны. Но уж слишком на рафинированную ситуацию они рассчитаны: сетка с постоянными шагами Dx (равномерная), неподвижная. Да, наверно, такие задачи так и нужно считать («зачем из пушки палить по воробьям»?). Конечно, очевидно, что эти формулы легко обобщаются на неравномерные, подвижные сетки. Но это будут уже другие формулы: для них потребуются скорости движения границ, пересчет координат узлов сетки и т.д.

В свое время при расчете нестационарных задач с двумерной геометрией по методикам, основанным на обобщении одномерного варианта схемы С.К.Годунова, очень долго обходились «звуковым» приближением при расчете внутренних ячеек. И это несмотря на то, что итерационный метод расчета распада разрывов присутствовал уже в первой, сильно задержавшейся с публикацией в 1959 г., работе [7]. К этому времени метод успешно работал уже несколько лет. И основан этот метод расчета распада разрыва был как раз на использовании двух массовых скоростей а₁, а₂. Они обслуживали и ударную волну и волну разрежения (по своим формулам в каждом случае), и изменялись в ходе итерационного процесса.

Этот алгоритм был позже воспроизведен в монографии [2], см. стр.110. Как отмечено еще в [7] на стр.291-292, детальное исследование показало, что итерационный процесс сходится, если в результате распада не получается очень сильных волн разрежения. Чтобы сделать его сходящимся, в [7] было предложено вести итерации по видоизмененным формулам, которые приведены и в [2] на стр.110. Исследование сходимости было опущено и в [7] и в [2], так как оно проводится стандартным способом исследования сходимости итерационных процессов типа

, что сводится к вычислению и исследованию громоздких выражений для производных.

Именно «ужасный» вид этих формул в свое время «вдохновил» автора на разработку того алгоритма расчета распада разрыва, который приведен в монографии [2] на стр.110-115. Вторым стимулом была реализация мечты о квадратичной скорости итерационного процесса за счет использования метода касательных Ньютона. Метод был разработан задолго до публикации монографии [2] и до сих пор присутствует в производственных программах.

А настоятельная потребность в использовании такого алгоритма возникла, в частности, в связи с расчетами задач, представленных в работе [8], где этот алгоритм расчета распада разрыва и был впервые опубликован. Речь идет о расчетах нестационарных процессов, возникающих при взаимодействии набегающей ударной волны с течением за отошедшей головной ударной волной перед тупым телом, движущимся со сверхзвуковой скоростью. При их расчете возникали ситуации, когда в соседних ячейках двумерной сетки из-за сложной структуры и взаимодействия идущих в разных направлениях волн иногда возникали параметры, про которые иначе, как «нарочно не придумаешь», и не скажешь. Так что на приближенные расчеты распада разрыва надеяться не имело смысла. Потребовался такой алгоритм, который бы надежно выдавал «разумный» результат в ситуациях с любыми входными данными. Он и был разработан.

Естественно, при его использовании предусмотрены различные методы контроля, которые позволяют завершать итерационный процесс при достижении уровня точности, назначаемого исполнителем конкретного расчета (уровнем, может быть, заведомо «грубым»), ограничивать (на всякий случай) максимальное число итераций и т.п. Другое дело, что на практике далеко не всегда эти возможности используются в полной мере. Конечно, возможно и такое, что алгоритм будет делать «лишнюю» работу.

Важно одно: в случае необходимости имеется возможность получить точный результат (конечно, в разумных достижимых пределах). Даже, если это не спасает аварийную ситуацию, которая может быть обусловлена и физическим содержанием рассчитываемого процесса.

Наконец, остановимся еще на одном вопросе. Точный расчет распада разрыва оказался универсальным инструментом для расчета движения границ физических областей, например, разделяющих области с совершенно разными параметрами. Более подробно обсуждение этого вопроса можно найти в §15 монографии [2].

Результаты, которые дал бы приближенный метод расчета распада разрыва, как правило, были бы неприемлемыми. Это можно проиллюстри-ровать уже на том элементарном примере, который рассматривался в §2.

Аналитическое решение задачи о распаде разрыва с входными данными (2.1) показывает, что (см., напр., [2], стр.112) разрежение до полного вакуума наступает при скорости разлета

, т.е. при значении параметра .

Использование точного распада разрыва позволяет его реализовать.

А приближенный метод распада разрыва (как и вариант с ударной волной разрежения) по вине формулы (2.4) для давления всегда дает полный вакуум уже при

. Для воздуха g=1.4, а поэтому получаем , а . Комментарии просто излишни. Легко представить, какими были бы погрешности в определении скоростей движения границ при использовании приближенного распада.

§ 7. Предложение по улучшению схемы С

Как уже отмечалось, определяющую роль в схеме С играет назначение массовых скоростей формулами (1.8). Ввиду получения результатов, неблагоприятных с точки зрения поведения энтропии, естественно возникает вопрос, нельзя ли исправить ситуацию изменением этих формул. Простейшим способом реализации такой возможности является введение в формулы (1.8) произвольных коэффициентов. Что мы и сделаем, введя временно сразу три таких коэффициента

:

(7.1)

Возникшую схему для краткости назовем СП-схемой, т.е. схемой С с параметрами. Исследуем ее на том же примере симметричного распада разрыва (2.1), который рассматривался в § 2. Будем предполагать, что

, , .

Как легко видеть, в симметричном случае

Следовательно, для массовых скоростей вместо формулы (2.3) получаем:

(7.2)

Остальные формулы (2.2)-(2.9) сохраняются.

В зависимости от знака безразмерного параметра

формула (7.2) приобретает вид:

(7.3)

,

где введено обозначение:

(7.4)

Чтобы при m=0 реализовать «звуковые» волны

( , в общем случае), надо полагать .

Тогда для оценки энтропии вместо (2.10) с учетом (7.3) получим:

(7.5)

Изучение функции f(m) начнем с вычисления ее производной:

(7.6)