Три кризиса в развитии математики (стр. 10 из 27)
Îäíàêî, äî íà÷àëà XIX âåêà òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ó÷åíèÿ î ÷èñëå íå ìåøàëè óñïåøíîìó èñïîëüçîâàíèþ ïîíÿòèÿ ÷èñëà â ìàòåìàòèêå, òî÷íûõ íàóêàõ è òåõíèêå. Ýòî èìåëî îñíîâàíèåì òî, ÷òî â ëþáîé îáëàñòè ÷èñåë, îò íàòóðàëüíûõ äî êîìïëåêñíûõ, âñå ïÿòü çàêîíîâ ñ÷åòà âûïîëíÿþòñÿ. Êðîìå òîãî, â ýòîò ïåðèîä â ìàòåìàòèêå âåäóùåå ïîëîæåíèå ïðèíàäëåæàëî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ïîýòîìó âîïðîñû îáîñíîâàíèÿ ó÷åíèÿ î ÷èñëå õîòÿ è îáñóæäàëèñü àêòèâíî, íî â äåëå ðàçðàáîòêè îñíîâ ìàòåìàòèêè èãðàëè âòîðîñòåïåííóþ ðîëü.
Ó÷åíûå è ôèëîñîôû îáðàòèëè ñåðüåçíîå âíèìàíèå íà òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè ëèøü òîãäà, êîãäà Ëåéáíèö è Íüþòîí ðàçâèëè äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå.
Ëåéáíèö è åãî ïîñëåäîâàòåëè — áðàòüÿ Áåðíóëëè, Ëîïèíòàëü è äðóãèå — òðàêòîâàëè äèôôåðåíöèàëû êàê áåñêîíå÷íî ìàëûå ðàçíîñòè îáû÷íûõ êîíå÷íûõ âåëè÷èí, êàê òîãäà ãîâîðèëè — “ðåàëüíûõ” âåëè÷èí. Ïîýòîìó îíè îáðàùàëèñü ñ òåìè è äðóãèìè îäèíàêîâî è â èñ÷èñëåíèè ïðèìåíÿëè ê ïåðâûì òå æå ïðèåìû, êîòîðûå ñïðàâåäëèâû ïðè äåéñòâèÿõ ñî âòîðûìè. Âìåñòå ñ òåì âûÿñíèëîñü, ÷òî òàêèì îáðàçîì òðàêòóåìûì áåñêîíå÷íî ìàëûì ïðèñóùå ñâîéñòâî, ïðîòèâîðå÷àùåå îäíîìó îñíîâíîìó ñâîéñòâó îñíîâíûõ êîíå÷íûõ âåëè÷èí: åñëè À — êîíå÷íàÿ âåëè÷èíà, à a— áåñêîíå÷íî ìàëàÿ, òî, ÷òîáû ðåçóëüòàò èñ÷èñëåíèÿ ïîëó÷àëñÿ ñîâåðøåííî òî÷íûì, îêàçàëîñü íåîáõîäèìûì ïðîâîäèòü âû÷èñëåíèÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî À+a=À.
Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå, çíà÷åíèå êîòîðîãî äëÿ ðàçâèòèÿ íàóêè è òåõíèêè áûëî âíå ñîìíåíèé, îêàçàëîñü â ïàðàäîêñàëüíîì ïîëîæåíèè: ÷òîáû åãî ìåòîäàìè ïîëó÷èòü òî÷íûé ðåçóëüòàò, íàäî áûëî èñõîäèòü èç îøèáî÷íîãî óòâåðæäåíèÿ.
Íüþòîí ïûòàëñÿ îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå íà çàêîíàõ ìåõàíèêè è ïîíÿòèè ïðåäåëà. Íî åìó íå óäàëîñü îñâîáîäèòü ñâîå èñ÷èñëåíèå ôëþêñèé îò íåäîñòàòêîâ, ïðèñóùèõ äèôôåðåíöèàëüíîìó èñ÷èñëåíèþ Ëåéáíèöà.  ïðàêòèêå âû÷èñëåíèÿ Íüþòîí, êàê è Ëåéáíèö, ïðèìåíÿë ïðèíöèï îòáðàñûâàíèÿ áåñêîíå÷íî ìàëûõ.
Ê. Ìàðêñ íàçûâàë äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå Ëåéáíèöà–Íüþòîíà ìèñòè÷åñêèì. Ýòèì îí õîòåë â ïåðâóþ î÷åðåäü ïîä÷åðêíóòü, ÷òî Ëåéáíèö è Íüþòîí ââîäèëè â äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûå ìåòàôèçè÷åñêè, ñðàçó ïîëàãàÿ èõ ñóùåñòâóþùèìè, áåç âûÿñíåíèÿ èõ âîçíèêíîâåíèÿ è ðàçâèòèÿ è áåç àíàëèçà ïðèðîäû èõ ñïåöèôè÷åñêèõ ñâîéñòâ.
Ïàðàäîêñû âîçíèêëè è â òåîðèè ðÿäîâ. Íàïðèìåð, â XVIII âåêå ïîëàãàëè, ÷òî “ñóììà ðÿäà”
ðàâíà 0, òàê êàê
à
.Ìíîãî ñïîðîâ âûçâàë âîïðîñ î “ñóììå” ðÿäà
1–1+1–1…
ïîñêîëüêó, êàê ãîâîðèëè, “ñ îäíîé ñòîðîíû,
(1–1)+(1–1)…=0,
à ñ äðóãîé —
1–(1–1)-(1–1)…=1”.
Ïîïûòêè ïîñòðîèòü àíàëèç áåñêîíå÷íî ìàëûõ è òåîðèþ ðÿäîâ â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ îñíîâíûìè ïîíÿòèÿìè è èñòèíàìè “íèçøåé” ìàòåìàòèêè ñ ñàìîãî íà÷àëà ê óñïåøíûì ðåçóëüòàòàì íå ïðèâåëè. Ïîýòîìó Ëåéáíèö è åãî ïîñëåäîâàòåëè ïûòàëèñü îïðàâäàòü ïðèíöèïû àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ è òåîðèþ ðÿäîâ òàêæå ïóòåì ñðàâíåíèÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ñ ïåñ÷èíêîé, êîòîðîé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïðè âû÷èñëåíèè âûñîòû ãîðû, ïîñðåäñòâîì ññûëîê íà âåðîÿòíîñòü è ò. ï.