Три кризиса в развитии математики (стр. 19 из 27)
Èòàê, ðàçðàáîòàííûå â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ è ìåòîäû ìàòåìàòèêè ïîçâîëèëè ìàòåìàòèêàì ïåðåñòðîèòü ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, àëãåáðó, ó÷åíèå î ÷èñëå è îò÷àñòè ãåîìåòðèþ â ñîîòâåòñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè íîâîé ìåòîäîëîãèè. Íîâàÿ ìåòîäîëîãèÿ ìàòåìàòèêè ñïîñîáñòâîâàëà ïðåîäîëåíèþ êðèçèñà å¸ îñíîâ è ñîçäàëà äëÿ íå¸ øèðîêèå ïåðñïåêòèâû äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ.
III. Способы обоснования математики в последней четверти XIX века и начала XX века
1. Теория множеств. Основные понятия
учения о множествах Г. Кантора
Äëÿ ÷åãî ìàòåìàòèêè ïîñëåäíèõ äåñÿòèëåòèé XIX âåêà ïîòðåáîâàëîñü îáùåå ó÷åíèå î ìíîæåñòâàõ, îðãàíè÷åñêè ñâÿçàííûõ ñ ïîíÿòèåì àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè? Ã. Êàíòîð îòâåòèë íà ýòîò âîïðîñ òàê: “…äëÿ îáîñíîâàíèÿ àðèôìåòèêè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðåì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è òåîðèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ”. Ã. Êàíòîð óêàçûâàë òàêæå, ÷òî èäåè è ìåòîäû îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ ÿâëÿþòñÿ äåéñòâåííûìè îðóäèÿìè îòûñêàíèÿ íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ è ðàçâèòèÿ íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.  ýòîé ñâÿçè îí ñ÷åë âîçìîæíûì óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ ìàòåìàòèêè ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè ñóùåñòâåííî íåîáõîäèìî.
Îñíîâíûì ïîíÿòèåì îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà (ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè). “Ïîä ìíîãîîáðàçèåì, èëè ìíîæåñòâîì,— ïèñàë Ã. Êàíòîð,— ÿ ïîíèìàþ âîîáùå âñÿêîå ìíîãîå, êîòîðîå ìîæíî ìûñëèòü êàê åäèíîå, ò. å. âñÿêóþ ñîâîêóïíîñòü îïðåäåëåííûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ñâÿçàíà â îäíî öåëîå ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîãî çàêîíà.”
Êàíòîð íàçûâàë ìíîæåñòâî Ð îïðåäåëåííûì, åñëè îòíîñèòåëüíî ëþáîãî îáúåêòà ìîæíî ñêàçàòü, ïðèíàäëåæèò îí ìíîæåñòâó Ð èëè íå ïðèíàäëåæèò.
Ïîíÿòèå çàêîíà Ã. Êàíòîð ñ÷èòàë èñõîäíûì, íåîïðåäåëèìûì. Âìåñòå ñ òåì, â åãî êîíöåïöèè ïîíÿòèå çàêîíà èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü. Òàê êàê ñîãëàñíî çàêîíó ýëåìåíòû íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè ìîãóò áûòü ñâÿçàíû â îäíî öåëîå, òî çàêîí îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâà. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè ìíîæåñòâî ñóùåñòâóåò, òî ìîæíî äàòü çàêîí, îáåñïå÷èâàþùèé åãî ñóùåñòâîâàíèå.
Îïåðàòèâíûìè ïîíÿòèÿìè îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà ÿâëÿþòñÿ ïîíÿòèÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ ìîùíîñòè è êîëè÷åñòâà ìíîæåñòâà.
Êàíòîð îïðåäåëèë ìîùíîñòü — òåïåðü ÷àñòî ãîâîðÿò: “êîëè÷åñòâåííîå ÷èñëî” — êàê ðåçóëüòàò àáñòðàêöèè îò ñîäåðæàíèÿ è ïîðÿäêà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà.
Îí íàçûâàë äâà ìíîæåñòâà ðàâíîìîùíûìè è èìåþùèìè îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü, åñëè ìåæäó èõ ýëåìåíòàìè âîçìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå.
Äëÿ ðàçâèòèÿ îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ íàèáîëåå ñóùåñòâåííûì ÿâèëîñü äðóãîå îòêðûòèå Ã. Êàíòîðà — äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ñ ðàçëè÷íûìè ìîùíîñòÿìè.
Åñëè ìíîæåñòâî êîíå÷íî, ïîíÿòèå ìîùíîñòè ñîâïàäàåò ñ ïîíÿòèåì ÷èñëà åãî ýëåìåíòîâ è ìîæåò áûòü âûðàæåíî êîëè÷åñòâåííûì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì.  ñëó÷àÿõ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ íåëüçÿ ãîâîðèòü î ÷èñëå èõ ýëåìåíòîâ, íî êàæäîìó èç òàêèõ ìíîæåñòâ ìîæíî ïðèïèñàòü îïðåäåëåííóþ ìîùíîñòü. Ïðèíÿòî îòíîñèòü êàæäîìó êëàññó ìíîæåñòâ íåêîòîðûé ñèìâîë ìîùíîñòè. Òàê
— ñèìâîë ìîùíîñòè ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà, ñ — ñèìâîë ìîùíîñòè êîíòèíóóìà, 2ò — ñèìâîë ìîùíîñòè ìíîæåñòâà âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà, ìîùíîñòü êîòîðîãî åñòü ò. Êàæäûé òàêîé ñèìâîë Êàíòîð íàçâàë êàðäèíàëüíûì òðàíñôèíèòíûì ÷èñëîì.