Три кризиса в развитии математики (стр. 20 из 27)
2. Трудности построения теории множеств.
Критика концепции Г. Кантора
Êàíòîð ïðåäïðèíÿë ïîïûòêó ðàçâèòü àðèôìåòèêó êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë. Îí äîêàçàë ìíîãèå àðèôìåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ìîùíîñòåé êîíêðåòíûõ ìíîæåñòâ — ñ÷åòíûõ è ìîùíîñòè êîíòèíóóìà. Íàïðèìåð, åñëè ï — ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî:
Íî êîãäà êàíòîð ïîïûòàëñÿ îáîáùèòü ïîëó÷åííûå èì àðèôìåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ íà ëþáûå êàðäèíàëüíûå òðàíñôèíèòíûå ÷èñëà, òî âñòðåòèëñÿ ñ ñåðüåçíûìè òðóäíîñòÿìè.
Ïóñòü Ì è N — êàêèå óãîäíî áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà, ò è ï — ñîîòâåòñòâóþùèå èì êàðäèíàëüíûå òðàíñôèíèòíûå ÷èñëà. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî ýòè ÷èñëà âñåãäà ìîãóò áûòü ñâÿçàíû îäíèì è òîëüêî îäíèì èç çíàêîâ =, >, <? Äëÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ò è ï ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî, äëÿ êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë ñïðàâåäëèâîñòü åãî íå î÷åâèäíà. Êàíòîð ýòó ïðîáëåìó íå ðåøèë, å¸ íàçâàëè ïðîáëåìîé òðèõîòîìèè. Êàíòîð íå ñìîã òàêæå äîêàçàòü (èëè îïðîâåðãíóòü), ÷òî äëÿ ëþáûõ êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ:
ò+ï=òï;
ò=ò2;
åñëè ò2=ï2, òî ò=ï;
åñëè ò<ï è p<q, òî m+p<n+q;
åñëè ò<ï è p<q, òî mp<nq.
À. Òàðñêèé äîêàçàë, ÷òî êàæäîå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíî òðèõîòîìèè.
Èçâåñòíî, ÷òî x0<c. Ñóùåñòâóåò ëè ìíîæåñòâî Ì, ìîùíîñòü êîòîðîãî ò óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì:
õ0<m<c?
Ýòó ïðîáëåìó Êàíòîð òàêæå íå ðåøèë. Îí âûñêàçàë ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî òàêîå ìíîæåñòâî Ì íå ñóùåñòâóåò. Ïðåäïîëîæåíèå Êàíòîðà íàçûâàëîñü ãèïîòåçîé êîíòèíóóìà; îíî ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî âñÿêîå íå÷åòíîå ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.
Ïîñëå ïóáëèêàöèè ïåðâûõ ðàáîò Ã. Êàíòîðà, â êîòîðûõ îí èçëîæèë íà÷àëà ó÷åíèÿ î òðàíñôèíèòíûõ ÷èñëàõ (êîëè÷åñòâåííûõ è ïîðÿäêîâûõ), ìàòåìàòèêè, ëîãèêè, ôèëîñîôû è îñîáåííî òåîëîãè îòíåñëèñü ê åãî èäåÿì âåñüìà ñäåðæàííî. Íåêîòîðûå èç íèõ âûñòóïèëè ñ îòêðûòîé êðèòèêîé îñíîâíîãî ïîíÿòèÿ ó÷åíèÿ Êàíòîðà — ïîíÿòèÿ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè. Êàíòîð îòâåòèë íà ýòè âûñòóïëåíèÿ â íåñêîëüêèõ ñòàòüÿõ è â ïåðåïèñêå, êîòîðóþ âïîñëåäñòâèè ÷àñòè÷íî îïóáëèêîâàë.
Íàèáîëåå ñåðüåçíûì ïðîòèâíèêîì êîíöåïöèè Êàíòîðà áûë Ë. Êðîíåêåð. Îí ñ÷èòàë, ÷òî äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóþùèìè, ðåàëüíûìè ìîæíî ïðèçíàòü ëèøü íàòóðàëüíûå ÷èñëà, âñëåäñòâèå ÷åãî îíè ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáúåêòîì ÷èñòîé ìàòåìàòèêè. Êðîíåêåð óòâåðæäàë, ÷òî âñå òåîðåìû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïðàâîìåðíû ëèøü ïîñòîëüêó, ïîñêîëüêó èõ ìîæíî èñòîëêîâàòü êàê îïèñàíèÿ çàêîíîâ, ãîñïîäñòâóþùèõ â îáëàñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ, ïèñàë Êàíòîð, èçâåñòíàÿ ðåàëüíîñòü ïðèïèñûâàåòñÿ òàêæå ðàöèîíàëüíûì ÷èñëàì, ïîñêîëüêó îíè “íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþò” èç àðèôìåòèêè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Êðîíåêåð òðàêòîâàë èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà êàê óäîáíûå ñèìâîëû äëÿ îïèñàíèÿ åäèíûì ñïîñîáîì ñâîéñòâ ãðóïï íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè îí ïîëíîñòüþ îòðèöàë. Ñëåäóÿ ýòèì èäåÿì, Êðîíåêåð îïóáëèêîâàë èññëåäîâàíèå, â êîòîðîì íàìåòèë êîíòóðû íåêîòîðûõ “âñïîìîãàòåëüíûõ òåîðèé”, ïî åãî ìíåíèþ ïîçâîëÿþùèõ îñâîáîäèòü ÷èñòóþ ìàòåìàòèêó îò èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.