Уравнения математической физики (стр. 10 из 19)
- финитная, бесконечно дифференцируемая.
, v может быть использована как пробная :Подставим v в (3) :
(умножение u на срезающую функцию для локализации свойства в шаре )
(4)Введём конечноразностный оператор. Пусть
. 
. 
(5)Представим (5) в виде :
.Оценим :
По неравенству Коши-Буняковского :
,где
.Подставляем в решение в качестве пробной функции :
Результат :
(6)В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) :
.u имеет обощённые производные
.Обобщение Теоремы на случай произвольной гладкости правой части.
Теорема 2.
Пусть
- ограничена, 
- обобщённое решение задачи (1) (2), тогда : 
.Гладкость обобщённых решений эллиптических задач вблизи границ.
(1)
(2) 
(3)Теорема 1.
Пусть
- ограниченная область : 
- обобщённое решение (1) (2), тогда 
.Доказательство.
Доказать, что
.Пусть в окрестности X и Y граница создаётся уравнением :
Не ограничивая общности рассуждений будем считать, что граница плоская.
Введём срезающую функцию :
Подставим v в (3), получим :
(4)Введём конечноразностный оператор. Пусть
. 
.При этом :
. (5)Представим (5) в виде :
.Через неравенство Коши-Буняковского, получим :
,где
.Подставляем в решение в качестве пробной функции :
В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) :
.u имеет обощённые производные
.Лемма.
Пусть
- обобщённое решение (1) (2), тогда : 
- ограничена, следовательно u удовлетворяет уравнению (1) почти всюду в Q.Будем считать :
. 
Значит :
.Теорема 2.
Пусть
- ограниченная область, 
- обобщённое решение задачи (1) (2), тогда : 
.Теорема "вложения" Соболева.
- ограниченная область, 
, следовательно 
-непрерывно вложено.Определение.
Непрерывность оператора наложения - это
почти всюду в Q . 
(1)Доказательство (теоремы).
, где 
,если
, и : 
(2)Доказательство (1) будет следовать из доказательства (2) и
(3)Пусть (3) доказана для любой финитной, гладкой
, то в этом случае теорема справедлива для 
. 
; 
; следует фундаментальность : 
(4)(Замечание. Предел в смысле почти всюду :
п.в.Остаётся доказать (3) для любых финитных, бесконечно дифференцируемых в функций.
Преобразование Фурье :
,где
. 
умножим и разделим на
и применим неравенство Коши-Буняковского.