Уравнения математической физики (стр. 12 из 19)

, такой, что: E(u)=d .u - минимизирующий элемент.

Теорема 1.

Существует единственный

, минимизирующий функционал E . При этом этом любая минимизирующая последовательность является сходящейся к элементу u : .

Доказательство.

Возьмем любую минимизирующую последовательность. Очевидно:

Почленно сложим соотношения с "+" и с "-":

Доказано: последовательность

- фундаментальная в полном пространстве, значит: и, значит :

.

Доказано: если

- минимизирующая последовательность, то она сходится к минимальному элементу.

Доказательство единственности от противного: пусть есть второй минимальный элемент; составим минимизирующую последовательность:

.

Она не сходится, значит, второй минимальный элемент не существует.

Пусть

составляют линейно независимую систему функций, линейная оболочка которой плотна в , т.е. полная система, значит:

может быть аппроксимирован .

Обозначим через

- конечномерное подпространство , натянутое на первые k функций .

Рассмотрим

- задача сводится к конечномерной.

, и E(.) может быть представлен в виде функции k переменных; обозначим её:

Необходимое условие экстремума:

, тогда:

, где i=1,...,k. (1)

Система алгебраических уравнений (1) имеет единственное решение, т.к. её определитель (Грама) отличен от 0.

Обозначим решение

, и: - монотонно невозрастающая последовательность минимальных значений функционала.

- последовательность Ритца.

Теорема 2.

Последовательность Ритца является минимизирующей, и, следовательно, сходится к минимизирующему элементу u :

.

Доказательство.

Т.к.

всюду плотна в , то: , такие что: .

Рассмотрим значение

:

Таким образом:

, и при :

.

Теорема 3.

является мимимизирующим элементом для функционала E(u) тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Необходимость: пусть u - минимизирующий элемент; возьмем

, то: , т.к. u - минимизирующий. Обозначим через . Необходимое условие экстремума: .

что и требовалось доказать.

Достаточность: пусть выполняется (2), то рассмотрим:

,

т.е.

u - минимизирующий элемент, что и требовалось доказать.

Выводы.

1. Существует единственный минимизирующий элемент - предел минимизирующей последовательности ( последовательности Ритца).

2. Минимизация функционала связана с обобщенным решением краевой задачи.

3. Метод Ритца можно использовать для решения эллиптической задачи.

Примеры.

1.

- интегральное тождество ( 4 )

(4) определяет обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Теорема 4.

1. Существует единственный

, минимизирующий функционал в ;

- минимизирующая последовательность

2. Последовательность Ритца для функционала (3) в

является минимизирующей.

3.

является минимизирующей для функционала (3) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (5)-(6).

2. Задача Неймана.

Любое решение такой задачи равно сумме частного неоднородного и общего однородного решения. Будем искать решение из

, где - замкнутое подпространство пространства .

Обобщенное решение задачи (7)-(8) :

Если u=v=const, то илевая и правая части не изменятся и:

.

Решение существует и единственно.

Будем полагать :

, тогда:

Теорема 5.

1. Существует единственный

, минимизирующий функционал в ;

- минимизирующая последовательность

2. Последовательность Ритца для функционала (10) в

является минимизирующей.

3.

является минимизирующей для функционала (10) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (7)-(8).

Изучение классических решений эллиптических задач.

§1. Формула Грина.

- ограниченная область;