Уравнения математической физики (стр. 5 из 19)

Получили:

.

Если

, то , , и .

Знаменатель в 0 не обращается.

Построена

выполняется свойство 3.

- выполняются свойства 1 и 2.

Теорема о разбиении единицы доказана.

Теорема о продолжении функции.

Частный случай - продолжение из прямоугольников.

Продолжение функции из

в .

Лемма 1.

- продолжение функции f:

и

1.Определить функцию.

2.Проверить условие сливания: совпадание значений функции и её производных по

до k-го порядка.

Доказательство.

Определим

(2)

Коэффициенты

из условия:

(3)

Значит, функция непрерывна.

Теперь - доказательство совпадения производных.

Выполняется одно уравнение из (3), и:

.

Значит:

.

Неравенство (1) очевидно через определение нормы в

.

Замечание: из доказательства и свойства (6) пространств Соболева следует: можно перейти к

- пространству Соболева с выполнением этой теоремы, и (1) тоже справедливо.

Замечание: в силу того, что множество бесконечно дифференцируемых функций в замыкании куба всюду плотно в пространстве

в этом кубе и в силу того, что протсранство Соболева инвариантно относительно невырожденной гладкой замены переменных.

Лемма 2.

(4)

Теорема о продолжении функции.

Пусть

- ограниченная область, граница . Пусть ( - область), тогда:

- продолжение f, такая, что:

1)

2)

3)

(5)

Замечание.

Лемма 1 - рассмотрены кубики, в теореме: из Q на

и все свойства, как в лемме 1.

Доказательство.

В окрестности каждой точки границы:

нарисуем шар .

Пусть в O(z) граница задаётся уравнением

.

Введём новые переменные:

- невырожденное преобразование координат.

Преобразование:

- внутри пространства Соболева.

Во что перейдёт множество:

Вырезали куб

.

Результат преобразования

Прообраз куба

- криволинейный кубик.

Покроем границу кубиками Vi и выберем конечное подпокрытие.

(Tju)(y) = u(x(y)) (xVj) - переход от x к y,

переход от yк x :

Введём :

если

на носителях обратятся в 1.

Свойства оператора продолжения:

1. F(x) - ограниченный оператор;

2. Т.к.

- финитная, то F(x) - финитная на

Доказать: F(x)=f(x),если

.

Замечание.

Теорема 1 остаётся справедливой для пространств

(следует из доказательства).

Теорема 2.

Пусть

- ограниченная область

, - всюду плотно в .

Доказательство.

Рассмотрим произвольную функцию

.

- ограниченная.

F-продолжение f. Так как F - финитная в , то

Сепарабельность пространств Соболева.

Теорема.

Пусть

- ограниченная область, , тогда :

- сепарабельное.

Построениe счётного всюду плотного множества.

Доказательство.

Рассмотрим

; продолжение функции f : .

Аппроксимируем функцию F . Множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций (в силу свойств осреднений) всюду плотно в пространстве финитных функций

.

Очевидно :

.

Где коэффициенты :

.

Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство.

Определение.

Функции

образуют ортонормированную систему, если , и .