Уравнения математической физики (стр. 3 из 19)

- измеримы в Q;

в смысле Лебега.

Вводится

. Выполняются все аксиомы скалярного произведения.

Утверждение (без доказательства).

- полное пространство.

Вводится

Свойства пространства

Теорема 1.

Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве

Доказательство.

Множество ступенчатых функций плотно в

Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в

Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.

Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.

Доказать: характеристическую функцию

можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.

Рассмотрим

- финитная, бесконечно дифференцируема в

Значит,

Аппроксимация получена.

Теорема 2.

Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве

Определение 2.

Пусть

и считается продолженной нулем вне Q

. Скажем:

f - непрерывна в среднеквадратичном, если

Теорема 3.

Любая функция из

непрерывна в среднеквадратичном.

Доказательство.

Пусть

. Пусть

Оценим:

При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.

Теорема доказана.

Определение 3.

- бесконечно дифференцируема, финитна.

Свойства:

- осреднение функции f.

Теорема 4.

Любая функция из

сколь угодно точно аппроксимируема своими осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в

Доказательство.

От Q к

, от

При

Возьмем любые две функции:

Определение.

- множество функций, принадлежащих

на любом компакте внутри области.

Определение 1.

Пусть

- обобщённая производная функции f, если

выполняется:

(1)

Теорема 1.

Обобщённая производная определяется единственным образом.

Доказательство.

Предположим противное:

- обобщённые производные функции f.

(2)

(3)

(2),(3) - тождество для

- что и требовалось доказать.

Теорема 2.

Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.

Доказательство - из интегрального тождества (1).

Примеры обобщённых производных.

Ex 1.

По определению:

Пусть

Ex 2.

Покажем, что обобщённой производной не существует.

Пусть

, то:

где

1) пусть

носитель в

, то :

2) пусть

, значит:

Вывод:

, не имеет обобщённой производной.

Теорема 3.

Пусть

имеет обобщённую производную

, то:

(4)

если

2. Если к тому же

(6)

(7)