*-Алгебры и их применение (стр. 11 из 17)

I = P_0,0

P_0,1

P_1,0

P_1,1

(

Рφ_к), (1.2.)

P₁ = P_1,0

P_1,1

(

(

I_к )) (1.3)

Р₂ = P_0,1

P_1,1

(

I_к )) (1.4)

где I_к – единичный оператор на Н_к (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimН_i,j = n_i,j. Сразу можем записать разложение

Н = Н_0,0

Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φ_к

(0, ):

Н΄ =

Нφ_к, (l = n - )

Собирая вместе все Нφ_к, у которых одно φ_к, получим изоморфизм

Нφ_к

… Нφ_к ≈ С²

Н_к , где Нφ_кn_к экземпляров, dim(Нφ_к … Нφ_к )=2n_кdim(С²

Н_к) = dimС² dimН_к = 2n_к . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н_0,0

Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 ( (С²

Н_к))

Пусть π_i,j – сужение π на Н_i,j ( i, j= 0,1), π_к– сужение π на Нφ_к (к = 1,…, m), то есть π_i,j и π_к- *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

π = n_0,0π_0,0

n_0,1π_0,1 n_1,0π_1,0 n_1,1π_1,1 ( n_кπ_к) (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P_0,0

P_0,1 P_1,0 P_1,1 ( Рφ_к)

Тогда ортопроекторы Р₁ и Р₂ примут вид

P₁ = P_1,0

P_1,1 ( (

I_к ))

Р₂ = P_0,1

P_1,1 (

I_к ))

Причемn_1,0π_1,0(р₁) = P_1,0 , n_0,1π_0,1(p₂) = P_0,1 , n_1,1π_1,1(р₁) = P_1,1 , n_0,0π_0,0(p₂) = P_0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р₁ и Р₂ также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P₂ . Пусть А = Р₁ - Р₁^┴ = 2Р₁ – I и В = Р₂ – Р₂^┴ = 2Р₂ – I. Тогда А² = I , В² = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U^-1=ВА и А^-1UА = АUА = А²ВА = ВА = U^-1, следовательно

UА = АU^-1 или АU = U^-1А (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВL

L, но тогда ВL АL L, то есть пара А, В – приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть

L Н: АL L и ВL L, то из включения АВL АL L следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р₁ и Р₂ неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р₁ и Р₂ приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство L

Н такое, что Р₁L L, Р₂L L. Рассмотрим АL = (2Р₁ – I)L L, ВL = (2Р₂ – I)L L, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р₁ и Р₂ также будут приводимы, так как Р₁L =

L L, Р₂L = L L, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.