*-Алгебры и их применение (стр. 13 из 17)

1) ξ_к+1 – максимальный вектор в (

Нξ_i)^┴,

2) d (ζ_к,

Нξ_i) ≤ .

Тогда разложение Н =

Нξ_к такое что ξ_к>ξ_к+1 и μ_к>μ_к+1 .

Пусть представления π_μ в L₂(Т, μ) и π_ν в L₂(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L₂(Т, μ) →L₂(Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Тv(g)=vπ_μ(g)f = π_ν (g)vf = π_ν (g)a= ga. Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a|²dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ =

(С²

L₂(Т,μ_к)), где μ₁>μ₂>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:

P₁ = P_1,0

P_1,1 ( (

I_к ))

Р₂ = P_0,1

P_1,1 (

I_к ))

I_к – единичный оператор в L₂((0,

), dρ_к).

Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р₁ и Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н_0,0

Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 С²

Н(φ)dЕ(φ) (2.7.)

в прямой интеграл инвариантных относительно Р₁, Р₂ подпространств и определенное на Т = (0,

) разложение dЕ(φ) единичного оператора I₊=E(0, ) в Н₊ = С²

Н(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство

P₁ = P_1,0

P_1,1

I₊ (2.8.)

Р₂ = P_0,1

P_1,1

dЕ(φ) (2.9.)

Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве

L₂(R, dρ_к), где ρ_к зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов

§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то

(Р) = _р (Р) = {0, 1}, где _р(Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.

Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - λх = y, х, y

Н, λ

С. Тогда (1 - λ) Р_х = Р_y . Если λ ≠ 1, то Р_х =

Р_y. Если х ≠ 1, то х = ( Р_y - y), тогда (Р) = {0, 1}.

Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Р_х ≠ 0. Тогда Р(Р_х) = Р_х, то есть 1

_р (Р). Существует y≠ 0: (I - Р)y≠ 0, тогда Р(I - Р)y= 0 = 0 · (I - Р)y, то есть 0

_р (Р). Итак, (Р) = _р (Р) = {0, 1}.

1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р₁ и Р₂ в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р₁ + Р₂ в неприводимых представлениях.

1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Н_к – область значений оператора Р_кк = 1,2. Обозначим через А = Р₁ + Р₂ и найдем

(А).

1) Р₁ = Р₂ = 0, то для любого х

Н Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0

(А).

2) Р₁ = 0, Р₂ = I, то для любого х

Н₂ = Н Ах = х, то есть 1

(А).

3) Р₁ = I, Р₂ = 0, то для любого х

Н₁ = Н Ах = х.

4) Р₁ = Р₂ = I, то для любого х

Н₁ = Н₂ = Н Ах = Р₁х + Р₂х = 2х, то есть 2

(А).

Таким образом, если dimH =1, то

(А)

{0, 1, 2}.

1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.

1) х

Н_0,0, тогда Ах = 0 и 0

(А).