*-Алгебры и их применение (стр. 12 из 17)

Лемма 2.3. Если e^iφ

(U), то e^-iφ (U).

Доказательство.

1) Если e^iφ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует f

Н: ||f|| = 1 и Uf = e^iφf. Тогда по (2.1.) UАf = АU^-1f = e^iφАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e^-iφ принадлежит спектру U.

2) Если e^iφ

(U), то существует последовательность единичных векторов в Н || f_n || = 1 такая, что

||Uf_n - e^iφf_n || = || UАf_n - e^iφ Af_n || = || U^-1Аf_n - e^iφ Af_n || → 0 при n→ ∞ (|| Аf_n || =1)

Тогда e^iφ

(U^-1), следовательно e^-iφ (U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U^-1) = АU + АU^-1 = (U^-1 +U)А

А (U - U^-1) = А (U² – 2I + U^-2) = (U² – 2I + U^-2)А = (U - U^-1)²А

Таким образом А (U + U^-1) = (U^-1 +U)А (2.2.)

А (U - U^-1) = (U - U^-1)²А (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U^-1 = cI

(U - U^-1)² = d²I

где c, d

С. По теореме преобразования спектров e^iφ+ e^-iφ = c, e^iφ- e^-iφ = ±d.

1) Если d = 0, то

(U) состоит из одной точки e^iφ, где φ=0 или φ=π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, х H.

2) Если d ≠ 0, то

(U) дискретен и состоит из двух точек e^iφ= и e^-iφ= φ (0, π)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению e^iφ (или e^-iφ), Н_eiφ = {f

H | Uf = e^iφf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы fи Afдля оператора U: Uf = e^iφf, U(Аf) = e^iφ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimН_eiφ= dimН_-eiφ=1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что

(U) = {e^iφ, e^-iφ} φ (0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А =

, U= , В =

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р₁, Р₂ ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.

2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р₁ и Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н_0,0

Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 ( (С²

L₂((0,

), dρ_к))) (2.4.)

где ρ₁ > ρ₂ >… ρ_к меры на интервале (0,

), такое, что имеют место равенства

P₁ = P_1,0

P_1,1 ( (

I_к )) (2.5.)

Р₂ = P_0,1

P_1,1 (

I_к )) (2.6.)

I_к – единичный оператор в L₂((0,

), dρ_к)

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н_0,0

Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 Н΄, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P₂ отвечает циклическое представление π_F *-алгебры P₂ в некотором гильбертовом пространстве Н_F. При этом Н_F можно реализовать как L₂(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μ_F на Т.

Пусть каждому вектору ξ

Н поставим в соответствие подпространство Н_ξ

Н, которое получается замыканием множества векторов вида π(х)ξ, где х

А. Ограничения операторов из π(А) на Н_ξ является циклическим представлением. Обозначим его через π_ξ, а соответствующую меру на Т через μ_ξ. Введем упорядочение в Н, полагая ξ>η, если μ_ξ> μ_η (то есть μ_η абсолютно непрерывна по мере μ_ξ).

Если η

Н_ξ, то Н_η

Н_ξ, тогда π_η – циклическое подпредставление π_ξ. Пусть Е Т и μ_ξ(Е) = 0, тогда μ_η(Е) = 0, следовательно μ_ξ> μ_η, а значит ξ>η.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н =

Нη_к. Пусть {ζ_i} – последовательность, в которой каждый из векторов η_i встречается бесконечное число раз. Определим ξ_к индуктивно, так, чтобы выполнялись условия: